Метрические пространства. Нормированные пространства. Гильбертовы пространства. Теория операторов. Теория Хана-Банаха. Сопряженные пространства (Тематические задачи по дисциплине "Функциональный анализ")

ЗАДАЧИ ПО ФУНКЦИОНАЛЬНОМУ АНАЛИЗУ

Метрические пространства.

1.  Может ли любое подмножество метрического пространства одновременно открыто и замкнуто? Привести пример.

2.  Может ли в метрическом пространстве шар большего радиуса содержаться в шаре меньшего радиуса? Привести пример.

3.  В  проверить аксиомы расстояния для метрики .

4.  Сходятся ли в  последовательности ?

5.  Проверить .

6.  Проверить . Привести контрпример.

7.  Проверить .

8.   - метрическое пространство. Проверить, что, если  - открытое, то  - замкнутое.

9.   - метрическое пространство. Проверить, что, если  - замкнутое, то  - открытое.

10. Множества  открыты. Доказать, что  открыто.

11.Множества  открыты. Будет ли множество  открыто?

12.Множества  замкнуты. Доказать, что  замкнуто.

13.Множества  замкнуты. Будет ли множество  замкнуто?

14.Пусть  произвольное множество метрического пространства. Границей множества  называется множество  таких точек , что каждый шар с центром в  содержит хотя бы одну точку из  и хотя бы одну точку из дополнения  к . Доказать, что  замкнутое множество.

15.Пусть  непрерывное отображение. Будет ли образ  открытого множества  открытым? Если да, обосновать, если нет, привести контрпример.

16.Пусть  непрерывное отображение. Будет ли образ  замкнутого множества  замкнут? Если да, обосновать, если нет, привести контрпример.

17.Доказать, что для непрерывности отображения  необходимо и достаточно, чтобы для любого множества .

18.Доказать, что для непрерывности отображения  необходимо и достаточно, чтобы прообраз любого открытого множества  был открыт.

19.Точкой присоединения множества называется точка, в любой окрестности которой содержится по крайней мере одна точка множества . Является ли точка присоединения предельной точкой множества? Является ли множество всех точек присоединения данного множества замкнутым множеством

20.Привести пример бесконечного нигде не плотного множества в пространстве .

21.Привести пример всюду плотного множества в пространстве .

22.Можно ли  сделать метрическим пространством, если . Если да, то будет ли оно полным. Если нет, то, какое пространство является его пополнением?

23.Можно ли  сделать метрическим пространством, если . Если да, то будет ли оно полным. Если нет, то, какое пространство является его пополнением?

24.Можно ли  сделать метрическим пространством, если . Если да, то будет ли оно полным. Если нет, то, какое пространство является его пополнением?

25.Исследовать на сходимость в пространстве  последовательность .

26.Исследовать на сходимость в пространстве  последовательность .

27.Последовательность  метрического пространства удовлетворяет условию . Будет ли эта последовательность фундаментальна? Будет ли она компактна?

28.Доказать компактность множества .

29.Доказать в  компактность множества функций вида , где  - произвольная последовательность, для которой

30.Доказать, что множество функций  является компактным.

31.Будет ли компактным множество функций из , котороые имеют ограниченные в совокупности -ые производные?

32.Доказать, что множество последовательностей с конечным числом отличных от нуля элементов плотно в .

33.Доказать сепарабельность пространства  непрерывных функций, для которых , .

34.Доказать сепарабельность пространства  последовательностей, стремящихся к нулю.

35.Пусть  - дифференцируемая на отрезке  функция, причем . Будет ли уравнение  иметь решение?

36.Начиная с какого приближения  точность приближения решения уравнения  не превосходит 0,01.

37.Используя принцип сжимающих отображений, найти в решение уравнения .

38.Используя принцип сжимающих отображений, найти в решение уравнения .

Нормированные пространства.

1.  Проверить аксиомы нормы в пространстве .

2.  Проверить аксиомы нормы в пространстве  .

3.  Является ли нормой в  функция ?

4.  Является ли нормой в  функция ?

5.  Является ли нормой в  функция ?

6.  Доказать, что замыкание подпространства  в пространстве  есть пространство  последовательностей, сходящихся к нулю.

7.  Пусть . Образует ли  подпространство в .

8.  Доказать эквивалентность норм

,

в пространстве .

9.  Доказать, что множество непрерывных кусочно линейных функций всюду плотно в пространстве .

10.Доказать что всякое конечномерное линейное многообразие в нормированном пространстве есть подпространство.

11.Образуют ли подпространство в  множество функций, удовлетворяющих условию ?

12.Образуют ли подпространство в  множество непрерывно дифференцируемых функций?

13.Доказать, что  подпространство в .

14.Пусть  - всюду плотные множества. Возможно ли, что ø?

15.Доказать, что дополнение к нигде не плотному множеству всюду плотно. Справедливо ли обратное утверждение?

16.Пусть  непрерывное отображениепространства  на пространство ,  - всюду плотное множество в . Доказать, что  - всюду плотное в .

17.Пусть , ряд  сходится. Доказать,что последовательность  фундаментальна. Верно ли обратное утверждение?

Гильбертовы пространства.

1.  Пусть  - биортогональные системы элементов гильбертова пространства, т.е. . Доказать, что каждая из этих систем линейно независима.

2.  Пусть  и . Доказать, что .

3.  Доказать, что в гильбертовом пространстве  из  следует, что .

4.  Рассмотрим линейное пространство непрерывных на  функций  таких, что . Проверить, что числовая функция  удовлетворяет аксиомам скалярного произведения. Найти три первых ортонормированных многочлена, полученных путем ортогонализации системы .

5.  Пусть . Доказать, что - линейное многообразие, всюду плотное в .

6.  В пространстве  задана последовательность . Доказать, что линейная оболочка этой последовательности всюду плотна в .

Теория операторов.

1.  Будет ли ограничен оператор ?

2.  Будет ли ограничен оператор ?

3.  Доказать ограниченность оператора и найти его норму: .

4.  Доказать ограниченность оператора и найти его норму: .

5.  Доказать ограниченность оператора и найти его норму: .

6.  Доказать ограниченность оператора и найти его норму: .

7.  Доказать ограниченность оператора: .

8.  Оператор . При каком условии на  оператор  будет ограниченным и какова при этом его норма?

Теория Хана-Банаха. Сопряженные пространства.

1.  Доказать, что функционал  является ограниченным в пространстве . Найти его норму.

2.  Доказать, что функционал  является ограниченным в пространстве . Найти его норму.

3.  Ограничен ли функционал  в пространстве ?

4.  Ограничен ли функционал  в пространстве ?

5.  Доказать, что функционал  является ограниченным в пространстве . Найти его норму.

6.  Доказать, что функционал  является ограниченным в пространстве . Найти его норму.

7.  В пространстве  с элементами  на подпространстве  задан линейный функционал . Найти единственное продолжение  на  с сохранением нормы.

8.  Пусть  - гильбертово пространство,  - подпространство,  - щграниченный линейный функционал, заданный на . Доказать, что существует единственное продолжение  на все  с сохранением нормы.

9.  Доказать, что .