Экзаменационные билеты по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика" (Гауссовский процесс. Процессы с независимыми приращениями)

1.  Гауссовский процесс.

2.  Эргодическая теорема для цепей Маркова.

3.  Найти корреляционную функцию случайного процесса , где  имеет равномерное распределение на отрезке  и не зависит от процесса , имеющего корреляционную функцию .

4.  Нормальний  стаціонарний випадковий процес має нульове математичне сподівання й кореляційну функцію . Записати вирази його одновимірних і двовимірних щільностей. Знайти ймовірності випадкових подій  і .

,  . Найти, если

1.   Марковский однородный процесс со счетным числом состояний.

2.  Случайная гармоника.

3.  Розглянемо випадковий процес , де -процес Пуассона із параметром l. Довести, що ,. Довести, що .

4.   

Дискретні випадкові величини  і  є незалежними й мають однаковий розподіл . Знайти одновимірні розподіли випадкового процесу  у два моменти часу  і . Записати кореляційну функцію. Переконатись в тому, що процес є стаціонарним у широкому змісті і не є стаціонарним у вузькому змісті.

1.  Классификация Кендалла

2.   Определение марковского момента. Тождества Вальда.

3.  Довести стаціонарність процесу , де  та  - незалежні випадкові величини,  має рівномірний розподіл на , .

4.  Знайти розподіл випадкової величини  , де .

1.  .

2.  Основные понятия теории случайных процессов.

3.  Нехай , де доданки є незалежними величинами, що набувають значень +1 та -1 із ймовірністю ½. Довести, що  - мартингал

4.   

Центрований стаціонарний процес має кореляційну функцію. Знайти  і .

1.  Стационарность процессов в широком и узком смысле.

2.  Процессы с независимыми приращениями.

3.  Корреляционная функция гауссовского процесса равна . Среднее значение равно 2. Найти .

4.  Довести, що - мартингал, якщо ,

1.  Цепи Маркова. Основные понятия и примеры.

2.   

3.  .

4.  Найти стационарные вероятности для системы .

5.  Довести, що  - мартингал, якщо  для незалежних величин із однаковим розподілом.

1.  Пуассоновский поток.

2.  Мартингалы с непрерывным временем.

3.   Начальное распределение цепи Маркова задано вектором (0.9,0.1). Матрица переходных вероятностей . Найти стационарное распределение и распределение вероятностей по состояниям в момент времени 2.

4.  Найти основные характеристики процесса,  если случайные величины  и  имеют одинаковые средние значения 1 и матрицу ковариаций .

1.  Распределение времени начала обслуживания в системе .

2.  Процес  називається процесом Орнштейна-Уленбека із параметрами .  Довести, що він   стаціонарний.

3. Довести, що ( процес Пуассона мінус його середнє) є мартингал

4.   

5.  Определение стационарных процессов.

1.  Связь понятий стационарности в широком и узком смыслах.

2.  Найти характеристики процесса , где средние значения случайных величин равны 2 и 3, а матрица ковариаций имеет вид: .

3.  Работают три независимых элемента, каждый из которых может отказать с вероятностью 1/2. По окончании суток один неисправный элемент меняют на исправный. Случайный процесс-число неисправных элементов в момент начала цикла. Записать матрицу переходных вероятностей. Найти стационарное распределение.

1.  Система .

2.  Обобщенный пуассоновский процесс.

3.  Согласно классификации по предпочтительному виду трудовой деятельности, люди делятся на так называемых «сциентиков», «райтеров», «трейдеров», и «продакторов». Предположим, в городе среди 30-летних жителей соотношение этих типов равно 0.1:0.2:0.4:0.3. Пусть сын сохраняет тип, присущий отцу, с вероятностями соответственно 0.7, 0.4, 0.7 и 0.4, и меняет тип на любой другой с одинаковыми вероятностями. Найти процентное соотношение типов в следующем поколении и стационарное распределение.

4.  Нехай - процес Пуассона. Знайти  .

Экзаменационный билет №18(упрощенный)

1.  Определение и примеры цепей Маркова.

2.  Стационарные процессы.

3.  Матриця переходу однорідного ланцюга Маркова за один крок складає . Знайти стаціонарний розподіл, знайти матрицю ймовірностей переходу за два кроки. Знайти ймовірність переходу із стану 2 у стан 3 за два кроки.

4.  Определить, является ли случайный процесс стационарным, если случайные величины  и  некоррелированы, имеют математические ожидания, равные нулю и дисперсии 4 и 9.

Экзаменационный билет №19(упрощенный)

1.  Основные характеристики случайных процессов.

2.  Пуассоновский поток.

3.  Найти стационарное распределение и вероятность перехода из состояния 0 в состояние 1 за два шага для цепи Маркова, заданной матрицей переходных вероятностей .

4.   Найти среднее и корреляционную функцию процесса   ,  .

Утвержден на заседании кафедры 405. Протокол №               от            .12.10        -

Экзаменационный билет №20(упрощенный)

1.  Основные типы случайных процессов.

2.  Цепь Маркова.

3.  Найти стационарное распределение и вероятность перехода из состояния 1 в состояние 1 за два шага для цепи Маркова, заданной матрицей переходных вероятностей .

4.  Довести, що , якщо - випадковий процес,  та  - невипадкові функції, .

Экзаменационный билет №21(упрощенный)

1.  Винеровский процесс.

2.  Определение и простейшие примеры мартингалов.

3.  Найти характеристики процесса , где средние значения случайных величин равны 0 и -2, а матрица ковариаций имеет вид: .

4.  Составить матрицу переходных вероятностей цепи Маркова за один шаг для одномерного симметричного случайного блуждания по точкам 0,1,2,3,4 с полупоглощающими экранами в точках 0 и 4: вероятность остаться в точках равна 0.4, вероятность выйти из них равна 0.6. Найти вероятность перехода из точки 2 в точку 4 за два шага.

Экзаменационный билет №24

1.  Винеровский процесс.

2.  Задача о разорении: вероятность разорения игрока для случая справедливой игры. Средняя продолжительность игры.

3.  Найти вероятность того, что за время  поступит четное число точек пуассоновского потока.

4.  Матриця переходу однорідного ланцюга Маркова за один крок складає . Знайти стаціонарний розподіл, знайти матрицю ймовірностей переходу за два кроки. Знайти ймовірність переходу із стану 2 у стан 3 за два кроки.

1. Стационарность в широком и узком смысле.

2. Система уравнений Колмогорова-Чэпмена для вероятностей пребывания Марковского процесса в состояниях.

3.  Найти распределение вероятностей по состояниям в момент времени 2, если начальное распределение задано вектором (0.2,0.8), а матрица вероятностей перехода цепи Маркова за 1 шаг

4. Нехай - два незалежні  один від одного стаціонарні процеси. Відомо, що , . Знайти кореляційну функцію процесу .

1.  Процесс Орнштейна-Уленбека.

2.  Скласти систему рівнянь Колмогорова-Чепмена для стаціонарних ймовірностей системи , якщо клієнт, що зустрів у системі  клієнтів, залишається із ймовірністю .

3.  Найти одномерные плотности случайного процесса , если .

Экзаменационный билет №32

1.  Процессы с независимыми приращениями.

2.  Стационарность случайных процессов.

3.   Составить систему уравнений Колмогорова-Чэпмена в задаче о снабжении энергией: имеется  независимых потребителей, каждый за время  подключается к системе с вероятностью  и выключается с вероятностью . Решить систему для стационарных вероятностей.

4.  Найти распределение вероятностей по состояниям в момент времени 1, если начальное распределение задано вектором (0.4,0.6), а матрица вероятностей перехода цепи Маркова за 1 шаг