Законы и соотношения механики по уравнению движения тела

Условие.

 Скорость яхты массой m=2300 кг меняется по закону . Определить следующие показатели: время, за которое яхта достигает максимальной скорости; расстояние, пройденное от начала движения до момента достижения максимальной скорости; работу силы ветра за это время. Показать, как мощность  развиваемая при движении яхты, зависит от времени.

Краткое теоретическое содержание.

Движение яхты механическое, поступательное.

 Механическим движением называют такую форму движения, при котором изменяется положение тела в пространстве с течением времени.

Поступательное движение- вид движения, при котором любая прямая жестко связанная с телом остается при его движении параллельной самой себе. Все точки тела в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения.

Траектория – кривая, которую описывает тела при движении. Расстояние, отсчитанное вдоль траектории называется путем: S, м.

Скорость – векторная физическая величина, характеризующаяся числовым значением, которое называется модулем, и направлением: ;

     Ускорение- векторная величина, характеризующая изменение скорости частицы с течением времени: ;

Масса – мера инертности тела при поступательном движении: m, кг.

Импульс тела – векторная величина, модуль которой равен произведению массы на скорость: ; .

 Сила – физическая векторная величина, характеризующая воздействие на данное тело со стороны других тел: F, Н.

Энергия – это общая количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи.

Кинетическая энергия – выражение, определяемое массами и скоростями движущихся тел: , если результирующая всех сил действующих на частицу равна нулю. Если  сила не равна нулю, то кинетическая энергия получит приращение за время , Дж.

Работа – физическая величина, равная изменению кинетической энергии тела, связанное с действием сил на движущееся тело:, Дж.

Мощность – физическая величина, характеризующая работу, совершенную в единицу времени: , Вт.

Основные законы и соотношения.

1). Второй закон Ньютона:

Скорость изменения импульса частицы (материальной точки) равна сумме внешних сил, действующих на нее.

                            ,

- импульс тела ;   t – время ; сумма внешних сил

2). Модуль мгновенной скорости есть первая производная изменения пути по времени:

Т.к. скорость есть функция , то:

Путь, пройденный за время от  до  равен определенному интегралу от функции , показывающей, как изменяется модуль скорости с течением времени.

3). Работа силы, совершенная на расстоянии от  до равна определенному интегралу от силы, действующей на тело на этом участке.

                               ,где

А- работа силы , -сила, действующая на тело , S- путь, пройденный под действием силы [S]=м.

4).Мощность, развиваемая при движении (по определению):

                                 , где

dА- работа силы, совершаемая за время dt, Р-мощность .

Если

Мощность равна скалярному произведению сумме сил, действующих на тело, на скорость тела.

Решение.

Яхта движется по закону: . Движение поступательное, ускоренное, т.к. скорость не постоянна.

1). Найдем t , за которое яхта достигнет максимальной скорости. Для этого вычислим  производную  и приравняем последнюю к нулю, т.к. при таком условии движение  будет равномерное, скорость будет изменяться только по направлению, а значит  достигнет своего максимального значения:

 где t – время, за которое яхта достигает максимальной скорости.

2). Определим максимальную скорость яхты, как .

, где

 модуль начальной скорости, =625 с.

 Так как мгновенное значение скорости есть первая производная пути по времени: , то соответственно: . Найдем значение S:

       3).  Работа- есть скалярное произведение векторов силы и перемещения:

,  где

По второму закону Ньютона:

Домножим обе части выражения на :

элементарная работа

 т.к.

4). Найдем мощность по определению

            P==

Графический материал.

Зависимость мощности от времени: =

Вывод:

 Используя законы и соотношения механики, по уравнению движения тела можно найти путь, пройденный телом за какой- либо промежуток времени, работу тела, мощность и другие величины:

=