Решение задач: две степени свободы, страница 2

Подставляя в них , находим , и

Ответ: .

43. Для рассматриваемой системы с двумя степенями свободы в качестве обобщенных координат возьмем – смещение 1-й призмы, и – смещение 2-й призмы относительно первой (рис. 3.50). Тогда кинетическая энергия поступательно движущихся призм

Составляющая скорости . По теореме сложения скоростей . Принимая за переносное движение движение первой призмы найдем

Поэтому .

Виртуальная работа сил , поэтому обобщенные силы , . Составляя уравнения Лагранжа второго рода , получим систему уравнений

Решая ее относительно найдем , .

По теореме сложения ускорений . При поступательности переносного движения ускорение Кориолиса , и

Ответ: ,

44. В качестве обобщенных координат рассматриваемой системы с двумя степенями свободы возьмем углы , (рис. 3.51). Связи идеальны и голономны, составляем уравнения Лагранжа второго рода

Кинетическая энергия системы . Для стержня ОА . Для стержня АВ . Скорость , т.е.

, , и .

Для всей системы .

Обобщенные силы . Для вычисления левых частей уравнений Лагранжа выполняем соответствующие операции.

Уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

Не ограничивая общности можем считать . Тогда

Линеаризация последних уравнений при малом угле даст

Подстановкой получим , .

Ответ: .

45. Для рассматриваемой системы с двумя степенями свободы и голономными идеальными связями (силы реакции не совершают работу) в качестве обобщенных координат возьмем (рис. 3.52). Составляем уравнения Лагранжа второго рода

Кинетическая энергия . Для трубки

Для точки . Составляющие скорости

, .

Работу совершает консервативная стационарная сила тяжести точки, потенциальная энергия соответственно ; обобщенные силы , .

Дифференцированием вычисляем левые части уравнений Лагранжа.

Уравнения Лагранжа принимают вид

(3.67)

В положении равновесия системы , т.е. . При это равновесие неустойчиво, поэтому возможность малых колебаний рассматриваем около положения равновесия . В окрестности этого равновесия линеаризация уравнений (3.67) даст

Тогда , . Общее решение последней системы уравнений

(3.68)

Выражение для угла при малых отклонениях начальных условий от равновесия соответствует малым колебаниям, выражение же для будет им соответствовать при .

При заданных начальных условиях из (3.68) следует

. Условие дает .

Ответ: .

46. Ударные импульсы, с которыми стержень и точка действуют друг на друга, направлены вдоль оси (рис. 3.53), поэтому по теореме об изменении импульса для каждого из тел после удара их центры масс также приобретут скорости, направленные вдоль оси .

По теореме об изменении импульса для всей системы при ударе . До удара ( – скорость точки до удара), после удара , и , т.е.

. (3.69)

По теореме об изменении кинетического момента системы относительно оси . До удара ( - длина стержня). После удара

Тогда , т.е.

. (3.70)

Уравнений (3.69) и (3.70) недостаточно для нахождения кинематических характеристик системы после удара. Поэтому воспользуемся обобщением гипотезы Ньютона ( - коэффициент восстановления). До удара , после удара ( - единичные векторы нормали к поверхностям тел в точке соударения). Тогда

. (3.71)

Совместным решением уравнений (3.69)-(3.71) получим

Последние формулы используем при постановке начальных условий при рассматрении движения тел по окончании удара. Для точки , т.е. . Для плоскопараллельно движущегося стержня

т.е. , , .

В момент повторного удара конца стержня А по точке . Так как , а удар может произойти при , то это соответствует условию , т.е. .

Ответ: .

47. Из условия равенства нулю суммы моментов сил, приложенных к системе, относительно точки О до начала действия электромагнита (рис. 3.54) следует, что , т.е. .