Пусть дано уравнение
Корнем этого уравнения
называется такое значение
, при котором
Корень
называется
простым, если
, в против-
ном случае - кратным. Целое число называется кратностью корня
, если
Геометрически
корень
соответствует точке пересечения графика
функции
с осью
Корень
кратный, когда пересечение происходит под нулевым углом. На рисунке
,
-
простые корни,
,
-
кратные. В подавляющем большинстве случаев представить решение уравнения
в виде конечной замкнутой формулы оказывается
невозможным. Даже для простейшего
алгебраического уравнения -й степени
явные формулы корней известны для
Уже для уравнения пятой (и более высоких
степеней) таких формул не существует.
Задача отыскания корней нелинейного уравнения решается в два
этапа. Первый называется этапом локализации (отделения) корней, второй - этапом
итерационного уточнения корней. Отрезок ,
содержащий только один корень
уравнения
, называется отрезком локализации корня
. Способы локализации корней многообразны,
и указать универсальный метод не представляется возможным. Иногда отрезок
локализации известен либо он определяется из физических соображений. В простых
случаях хороший результат может дать графический метод. На этапе итерационного
уточнения корней с точностью
используют тот или иной
итерационный метод, позволяющий строить последовательность
приближений к корню
. Итерационный метод называют одношаговым,
если для вычисления очередного приближения
используется
только одно предыдущее приближение
и
- шаговым, если для вычисления
используется
предыдущих
приближений
Столько же данных необходимо для
начального приближения, чтобы запустить метод.
Скорость сходимости - одна из важнейших характеристик
итерационных методов. Говорят, что метод сходится со скоростью геометрической
прогрессии, знаменатель которой , если для
справедлива оценка:
(6.1.1)
При определении скорости сходимости метода используют понятие порядка сходимости. Если справедливо неравенство
(6.1.2)
то число называют
порядком сходимости. Если
, то сходимость линейная
(сходимость геометрической прогрессии), при
сходимость
называется сверхлинейной. Если
, скорость сходимости
называют квадратичной.
Если , то есть метод обладает
линейной сходимостью, можно установить справедливость формулы
; (6.1.3)
смотрите метод простых итераций или
метод Зейделя в предыдущей главе. Если же , то
справедлива оценка
(6.1.4)
Этот знаменитый метод - один из наиболее эффективных методов решения
самых разных нелинейных задач. Выведем его расчетную формулу, исходя из
простейших геометрических соображений. Соответствующая иллюстрация приведена на
рисунке слева. Пусть
- заданное начальное условие. В точке
с координатами
проведем
касательную к графику функции
и за новое приближение
примем абсциссу точки пересечения этой
касательной с осью
Далее поступают аналогично, за
приближение
берут абс
циссу точки пересечения с осью
касательной,
проведенной к графику в точке
и так далее. Уравнение
касательной, проведенной к графику
в точке
, имеет вид
. Если
положить здесь
, тогда абсцисса точки
пересечения касательной с осью
будет удовлетворять этому уравнению, то
есть
Отсюда
. (6.2.1)
Это и есть основная рабочая формула метода Ньютона или метода касательных, получившего свое второе название благодаря указанной геометрической интерпретации.
Теорема 6.1. Пусть -
простой корень уравнения
, в некоторой окрестности
которого функция
дважды непрерывно
дифференцируема. Тогда найдется такая малая
-окрестность
корня
, что при произвольном выборе начального приближения
из этой окрестности итерационная
последовательность метода Ньютона не выходит за пределы этой окрестности и
справедлива оценка
(6.3.1)
где . Это
означает, что метод Ньютона сходится с квадратичной скоростью. Грубо говоря, на
каждой итерации число верных знаков приближения примерно удваивается.
Простота и высокая скорость сходимости
делает метод Ньютона чрезвычайно привлекательным. Однако имеются две существенные
трудности. Первая из них - необходимость вычисления производной
Это часто либо невозможно
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.