Изучение основных положений теории массового обслуживания, ознакомление с методами анализа СМО

Statistica были рассчитаны числовые характеристики показателя (табл.2) и построена гистограмма (рис.2).

            Таблица 2. Числовые характеристики времени нахождения заявки в системе

Рис.2. Гистограмма  распределения времени нахождения заявки в системе

H₀: показатель «время нахождения заявки в системе» распределен по экспоненциальному закону.

H₁: показатель «время нахождения заявки в системе» не распределен по экспоненциальному закону.

Пусть уровень значимости α = 0,05.

Количество категорий:

Проверим гипотезу о распределении времени пребывания  заявки в системе по закону Гамма на основе критерия  хи-квадрат средствами Statistica.

Таблица 3.

	Observed	Cumulative  Observed	Percent  Observed	Cumul. % Observed	Expected Frequency	Cumulative    Expected	Percent Expected	Cumul. %   Expected	Observed-  Expected
<= 11,111	102	102	51,00000	51,0000	100,1368	100,1368	25,03421	50,0684	1,86318
22,222	47	149	23,50000	74,5000	49,9999	150,1367	12,49998	75,0684	-2,99991
33,333	24	173	12,00000	86,5000	24,9657	175,1025	6,24144	87,5512	-0,96575
44,444	16	189	8,00000	94,5000	12,4658	187,5683	3,11645	93,7841	3,53421
55,555	4	193	2,00000	96,5000	6,2244	193,7926	1,55609	96,8963	-2,22437
66,666	3	196	1,50000	98,0000	3,1079	196,9006	0,77698	98,4503	-0,10793
77,777	2	198	1,00000	99,0000	1,5518	198,4524	0,38796	99,2262	0,44816
88,888	2	200	1,00000	100,0000	0,7749	199,2273	0,19371	99,6136	1,22514
< Infinity	0	200	0,00000	100,0000	0,7727	200,0000	0,19318	100,0000	-0,77274

 Рис. 3. Гистограмма распределения времени нахождения заявки в системе

c наложением закона Гамма

Поскольку p-значение не меньше α (0,70817>0,05), гипотеза H₀ призаданном уровне значимости не отвергается.

                                                                 Таблица 4.  

Среднее время пребывания требования в системе по результатам 10 экспериментов:

Среднее время обработки одной заявки каналами результатам 10 экспериментов:

Среднее время ожидания в очереди по результатам 10 экспериментов:

3.2.  Имитация СМО с учетом дополнительных условий

Задание: приоритеты каналов соответственно 1, 2, … n. Вероятность безошибочного обслуживания заявки 0.9, таким образом интенсивность обслуживания   =0.9 

Вероятность простоя системы: 

Вероятность загрузки системы: 

Вероятность загрузки 1 канала:  

Вероятность загрузки 2 канала:  

Вероятность загрузки 3каналов (без очереди): 

Вероятность загрузки 3каналов (с 1 заявкой в очереди): 

Вероятность загрузки 3каналов (с 2 заявками в очереди): 

Вероятность загрузки канала I: 

Вероятность загрузки канала II: 

Вероятность загрузки канала III: 

Вероятность отказа в обслуживании: 

Среднее число требований в очереди:   

Среднее число заявок в системе: 

Среднее число занятых каналов: 

Среднее время пребывания требования в системе: 

Среднее время обработки одной заявки каналами: 

Среднее время ожидания в очереди: 

Поскольку интенсивность обслуживания уменьшилась увеличились вероятности загрузки как каналов, так и всей системы соответственно. Увеличились также и среднее число заявок в системе, среднее время пребывания требования в системе, среднее время обработки одной заявки каналами. Очередь по-прежнему не используется.

4. Анализ результатов моделирования

Таблица 5. Ошибки определения параметров СМО

Параметр	Аналитический метод	Метод ИМ	Ошибка оценки ε,  %
Pзагр	0,289	0,3	3,8
P0	0,711	0,7	1,5
P1	0,2706	0,274	1,25
P2	0,0179	0,0161	10
P3 (без очер)	0,0004	0,0004	0
n0	7,2*10-8	0	абс. 7,2*10-8
tож	3,6*10-6	0	абс. 3,6*10-6
Nз	0,3076	0,317	3
J	0,3076	0,317	3
tc	15,384	15,903	3,4
tобр	15,384	15,903	3,4

Выводы:

Анализируя таблицу 5, можно сделать вывод о том, что результаты имитационного моделирования отличаются от значений, рассчитанных аналитически, статистически незначимо. Таким образом в данном случае имитационный метод показывает свою высокую эффективность. Расхождения с аналитическими расчетами можно уменьшить еще больше, изменив последовательность случайно генерируемых чисел.

Так как представленная СМО весьма специфична и имеет свои особенности, о которых ниже, то в районе малых значений есть расхождения (напр, n_{0 и} t_ож).

Представленная система, хотя и выглядит «быстрой» и не использует предоставленную ей очередь, является очень неэффективной: вероятности загрузки 2 и 3 каналов низки, а вероятность простоя высока. Если увеличить интенсивность входного потока, то картина будет меняться в лучшую сторону. Имитационным методом не были достигнуты состояния полной загрузки (т.е. попадания заявок в очередь) СМО из-за малого количества заявок (200). Поэтому для данной СМО можно предложить избавиться от очереди, если это возможно.

Пример СМО:

Мощный сервер, имеющий три процессора для обработки заданий, а также очередь заданий. На сервер поступают нетребовательные задания через длинные промежутки времени. Поэтому высока вероятность простоя, а возникновение очереди маловероятно. Введение дополнительных условий – небольшое падение производительности (пересчет задач с ошибкой) также вписывается в данную СМО.

В итоге для СМО можно сказать следующее:

По результатам исследований имитационное моделирование намного эффективнее аналитического расчета, позволяет быстро и просто вычислить вероятности состояний, а погрешности статистически незначимы. Аналитический расчет же более сложен, требует больших затрат времени на расчеты, построения графа состояний и решения дифуравнений.

Литература

1. Учебное пособие по моделированию, методичка.
2. www.gpss.ru

Приложение. Исходный текст программы имитации СМО с одинаковыми интенсивностями обслуживания каналов

TAB TABLE M1,8,8,11                            ;сбор информации о МО и СКО

GENERATE (EXPONENTIAL(1,0,16.66)+EXPONENTIAL(3,0,16.66)+EXPONENTIAL(5,0,16.66)),,,200

                                     ;распределение входного потока заявок

TEST L Q$SIS,5,OUT

QUEUE SIS

TRANSFER All,K1,K3,5

K1 SEIZE 1

ADVANCE (EXPONENTIAL(1,0,15.38))     ;обработка заявок 1 каналом

DEPART SIS

RELEASE 1

TRANSFER,OUT

K2 SEIZE 2

ADVANCE (EXPONENTIAL(1,0,15.38))     ;обработка заявок 2 каналом

DEPART SIS

RELEASE 2

TRANSFER,OUT

K3 SEIZE 3

ADVANCE (EXPONENTIAL(1,0,15.38))     ;обработка заявок 3 каналом

DEPART SIS

RELEASE 3

OUT SAVEVALUE 1+,1

SAVEVALUE X1,M1

SAVEVALUE TIME,C1                    ;общее время моделирования

TABULATE TAB

TERMINATE 1

START 200                            ;общее количество заявок

GENERATE 0,,,1

MET ADVANCE 1

TEST G Q$SIS,0,MET

SAVEVALUE ZAGR+,1                    ;общее время загрузки системы

TEST E Q$SIS,1,MET1

SAVEVALUE ZAGR1+,1                   ;время пребывания в системе 1 заявки

TRANSFER ,MET

MET1 TEST E Q$SIS,2,MET2

SAVEVALUE ZAGR2+,1                   ;время пребывания в системе 2 заявок

TRANSFER ,MET

MET2 TEST E Q$SIS,3,MET3

SAVEVALUE ZAGR3+,1                   ;время пребывания в системе 3 заявок

TRANSFER ,MET

MET3 TEST E Q$SIS,4,MET4

SAVEVALUE ZAGR4+,1                   ;время пребывания в системе 4 заявок

TRANSFER ,MET

MET4 SAVEVALUE ZAGR5+,1              ;время пребывания в системе 5 заявок