Многофакторные задачи оптимизации свойств материалов: Методические указания к лабораторным работам курса «Моделирование и оптимизация свойств материалов и технологических процессов»

часов с точностью 10 минут и для закалки: от 750 до 800 град. С точностью 5 град. методом покоординатного спуска. Параметром оптимизации является предел текучести.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Подавляющее число реальных задач оптимизации, представляющих практический интерес, являются многомерными: в них целевая функция зависит от нескольких аргументов, причем иногда их число может быть весьма большим.

Математическая постановка таких задач аналогична их постановке в одномерном случае: ищется наименьшее (наибольшее) значение целевой функции, заданной на некотором множестве Е возможных значений ее аргументов. В случае, когда целевая функция непрерывна, а множество Е является замкнутой ограниченной областью, остается справедливой теорема Вейерштрасса.

Как и в одномерном случае, характер задачи и соответственно возможные методы решения существенно зависят от той информации о целевой функции, которая нам доступна в процессе её исследования. В одних случаях целевая функция задается аналитической формулой, являясь при этом дифференцируемой функцией. Тогда можно вычислить ее частные производные, получить явное выражение для градиента, определяющего в каждой точке направления возрастания и убывания функции, и использовать эту информацию для решения задачи. В других случаях никакой формулы для целевой функции нет, а имеется лишь возможность определить ее значение в любой точке рассматриваемой области (с помощью расчетов, в результате эксперимента и т. д.). В таких задачах в процессе решения мы фактически можем найти значения целевой функции лишь в конечном числе точек, и по этой информации требуется приближенно установить ее наименьшее значение для всей области.

Рассмотрим метод покоординатного спуска. Пусть нужно найти наименьшее значение целевой функции u=f (M)=f (х₁, х₂, . . ., х_n). Здесь через М обозначена точка n-мерного пространства с координатами х₁, х₂, . . ., х_n: М = (х₁, х₂, . . ., х_n). Выберем какую-нибудь начальную точку М₀ = (x₁₀, x₂₀, … x_n0) и рассмотрим функцию f при фиксиро­ванных значениях всех переменных, кроме первой: f₁ (x₁₀, x₂₀, … x_n0). Тогда она превратится в функцию одной переменной x₁. Изменяя эту переменную, будем двигаться от начальной точки x₁=x_l0 в сторону убывания функции, пока не дойдем до ее минимума при x₁=x_l1, после которого она начинает возрастать. Точку с координатами (x₁₁, x₂₀, x₃₀,… x_n0) обозначим через М₁ при этом f(М₀)³(М₁). Фиксируем теперь переменные: x₁=x_l1, x₃=х₃₀, . . . . . ., х_n=х_n0 и рассмотрим функцию f как функцию одной переменной x₂: f (x₁₁, x₂, x₃₀,… x_n0). Изменяя x₂, будем опять двигаться от начального значения x₂=х₂₀ в сторону убывания функции, пока не дойдем до минимума при x₂=x₂₁. Точку с координатами x₁₁, x₂₁, x₃₀,… x_n0} обозначим через М₂, при этом f (M₁ )³ f (М₂).

Проведем такую же минимизацию целевой функции по х₃, х₄, . . ., х_n. Дойдя до переменной х_n, снова вернемся к x₁ и продолжим процесс. Эта процедура вполне оправдывает название метода. С ее помощью мы построим последовательность точек М₀, М₁, М₂, . . ., которой соответствует монотонная последовательность значений функции f(М₀)>f(М₁)>f(М₂)>... Обрывая ее на некотором шаге k, можно приближенно принять значение функции f(M_k) за ее наименьшее значение в рассматриваемой области. Отметим, что данный метод сводит задачу поиска наименьшего значения функции нескольких переменных к многократному решению одномерных задач оптимизации. Если целевая функция f(х₁, х₂, . . ., х_n) задана явной формулой и является дифференцируемой, то мы можем вычислить ее частные производные и использовать их для определения направления убывания функции по каждой переменной и поиска соответствующих одномерных минимумов. В противном случае, когда явной формулы для целевой функции нет, одномерные задачи следует решать с помощью методов, описанных в § 3.

На рисунке 1 изображены линии уровня некоторой функции двух