Теория Гриффитса. Теоретические основы хрупкого разрушения при растяжении

ТЕОРИЯ ГРИФФИТСА

Теоретические основы хрупкого разрушения при растяжении

Количественные соотношения, используемые в настоящее время для описания процесса разрушения твердых тел, базируются на теории Гриффитса. Согласно теории Гриффитса первопричиной разрушения материала являются дефекты в виде трещин, всегда присутствующие в макроструктуре материала. Рассматривается следующий вариант развития трещины. В образце из идеально упругого материала имеется сквозная трещина эллиптической формы. Образец нагружается растягивающими напряжениями, под действием которых происходит рост трещины, при этом устанавливается динамическое равновесие между уменьшением потенциальной энергии образца и увеличением поверхностной энергии «берегов» трещины. Расчетная схема представлена на рис. 1.

Рис. 1. К выводу основного уравнения Гриффитса

При растяжении образца упругая энергия, запасенная в единице объема (упругая удельная энергия), будет

                                                                               (1)

где σ – растягивающее напряжение; Е – модуль упругости.

При образовании трещины происходит высвобождение упругой энергии равной произведению объема трещины на упругую удельную энергию

                                                                             (2)

На образование новой поверхности трещины затрачивается работа

                                                                                                   (3)

где γ – удельная поверхностная энергия.

Изменение потенциальной энергии пластины при образовании трещины можно описать выражением

                                                                   (4)

где U – потенциальная энергия твердого тела с трещиной; U₀ - потенциальная энергия твердого тела без трещины.

Или

                                                                                (5)

Трещина теряет устойчивость при достижении U максимума, тогда

или в раскрытом виде

                                                                                            (6)

или

                                                                                                      (7)

Выражение (7) представляет условие равновесия.

Из (7) следует

                                                                                            (8)

В общем случае плосконапряженного состояния условие (7) принимает вид

                                                                                             (9)                                      

где ν – коэффициент Пуассона.

Характер условия равновесия, описываемого выражением (6) и (7), определяется второй производной

В связи с тем, что эта величина является отрицательной, состояние равновесия, описываемое выражением (6), является нестабильным, и трещина будет расти постоянно.

Выражение (8) называется критерием Гриффитса и определяет условие существования устойчивой трещины. На рис. 2 приведено графическое представление критерия Гриффитса. Наличие трещины в растягивающемся теле не всегда является опасным. В зоне I устойчива и не подвержена росту, в зоне II трещина неустойчива и постоянно растет, граница между этими зонами представляет область неустойчивого равновесия, когда трещина уже начинает расти.

Рис. 2. Графическое представление критерия Гриффитса

Из (80) также следует, что по мере увеличения длины трещины напряжение, необходимое для ее дальнейшего роста, снижается. Следовательно,  при постоянной растягивающейся нагрузке, если процесс развития трещины уже начался, то он будет носить самоускоряющийся характер. Т.е. скорость роста трещины будет возрастать, достигнув в пределе скорости звука в металле.

Приложение теории хрупкого разрушения к

пластичным материалам

При развитии трещины в пластичном материале процесс роста сопровождается пластической деформацией, при этом удельная работа пластической деформации на три и более порядков превышает удельную поверхностную энергию. В простейшем случае применение формулы Гриффитса для анализа разрушения пластичного материала обеспечивается заменой удельной поверхностной энергии на удельную энергию разрушения поверхности, тогда критерий Гриффитса принимает вид

                                                                (10)

где γ_s – удельная энергия пластической деформации  (γ << γ_s).

Такая замена возможна, если пластическая деформация концентрируется в зоне перед вершиной трещины, ширина которой мала по сравнению с длиной трещины. Такой случай является достаточно частым в металлических материалах и именуется макрохрупким разрушением.