f(х0) + f''(х0)(x - х0) = 0.
Обозначая корень этого уравнения через х1 , определим его в виде
x1 = х0 - f(х0)/f'(х0).
Проводя линеаризацию в окрестности точки х1 , аналогичным образом можно получить х2 и так далее. В результате для произвольного k = 0, 1, 2, ..., будем иметь соотношение,
хk+1 = хk - f(хk)/f'(хk), k= 0, 1,2,... (4.3)
представляющее собой представляющее собой метод Ньютона уточнения корня уравнения (4.2). Графически это означает, что на каждой итерации функция f(x) в точке хk заменяется касательной к ней. Точка пересечения касательной с осью абсцисс определяет уточненное значение хk+1 .
Метод Ньютона сходится к истинному значению корня х* , ес ли х0 выбрано достаточно близко
к х *[13], причем при условии
f(х0)*f''(х0) > 0, (4.4) a f(x) обладает таким свойством, что
êf(хk)f''(хk) ê< 0.5\f'(хk)\2, k = О, 1, 2, ... . (4.5)
При этом скорость сходимости метода Ньютона соизмерима со скоростью сходимости геометрической прогрессии. Останов итерационной процедуры (4.3) производится по условию
/f(хk+1))/ <= e, где e - требуемая точность определения корня.
Метод спуска решения уравнения (4.1) представляет собой обобщение метода Ньютона, методом спуска можно пользоваться и в случае комплексных и кратных корней, не производя предварительного их отделения, а начальное приближение задавать по определенному выражению.
Суть метода спуска в том, что если в общем случае корни урав-нения (4.1) комплексные, т.е.
х = а + jb, j = (-1)1/2 то f(x) можно представить в виде
f(x) = u(a, b) + jv(a, b),
а далее вводится в рассмотрение функционал
F(a,b) = u^2(a,b) + v2(a, b),
и задача поиска корней сводится к отысканию минимумов данного функционала.
Таким образом, итерационная процедура метода спуска состоит из следующих операций.
1. Задается начальное приближение корня
x0=g + j* (/f(g) / / /an/)^1/n.
где g = -[a(n-1)/an]- среднее арифметическое всех корней уравнения. 2. Производится уточнение корня
x(k+1)=xk-hf(xk)/f'(xk) причем сходимость процедуры уточнения обеспечивается за счет выбора параметра h. Значение h, для которого в точке х(k+1) имеет место неравенство
F(x(k+1)) < F(xk), (4.9)
считается выбранным правильно. В [5] отмечается, что для сколь угодно малого h неравенство (4.9) будет, несомненно, выполнено. При h = 1 имеем метод Ньютона и соответственно максимальную скорость сходимости. Поэтому на практике выбор параметра h начинают с h=1, а проверку сходимости осуществляют по неравенству
h < (/f(xk)/ / /an/)^1/n (4.10)
где величина, стоящая в правой части неравенства, является средним геометрическим расстояний всех корней уравнения от точки х. Если (4.10) не выполняется, то полагают h = h/2 и так далее до тех пор, пока оно не станет выполняться.
3. Проверяется условие останова итерационной процедуры уточ-нения корня согласно выражению (4.6), как и в методе Ньютона.
4. После определения корня х=x* исходное уравнение делится на двучлен (х - х ) (трехчлен, если имеет место пара комплексно-сопряженных корней) с целью понижения порядка n, а далее опи-санная процедура повторяется для вновь полученного уравнения.
Следует отметить, что метод спуска хорошо работает для прос-тых корней. Кратные и близкие корни определяются менее точно.
18. Решение систем линейных алгебраических уравнений
Метод простых итераций.. Простейшим случаем линейного, стационарного метода первого порядка является метод простых итераций
(последовательных приближений) [5].
Запишем систему в развернутом виде
{a11x1+a12x2+....+a1n*xn= b1
{........................ (4.12)
{an1*x1+...........+ann*xn=bn
Предполагая, что аii !=0, разрешим первое уравнение
системы (4.12) относительно х1 , второе - относительно х2 и т.д. В
результате получим
{x1=B1+a12*x2+........+a1n*xn
{......... (4.13)
{xn=Bn+.........+an(n-1)*x(n-1)
Систему, которая имеет вид, подготовленный для итераций.
теперь, задаваясь нулевым приближением х0 , можно осуществлять
последовательное его уточнение посредством итерационной процедуры
x(k+1)=B+A*xk k = О, 1,2, ... .
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.