Моделирование, Основные понятия и принципы

Построим математическую модель и попытаемся ее исследовать.

Модель стохастическая, так как число тактов обрабатываемых МК в АЛУ величина случайная.

Считаем, что МК считывается каждые 2 такта.

Для описания интервалов обслуживания используем регулярный просеянный поток. Просеянный поток иногда называют дискретным пуассоновским, так как его свойства аналогичны для моментов вероятности кратным периоду Т.

π - вероятность того, что в момент событие не произойдет, () - вероятность того, что произойдет.

Какова вероятность того, что обслуживание окончится через i тактов?

.

Средние значение времени обслуживания

=;

      - математическое ожидание интервала обслуживания.

 Это выражение соответствует геометрическому распределению: .

 К просеянному регулярному потоку приводит, например регулярный поток данных , передаваемый по каналам связи с контролем наличия сбоев в передаваемом коде и исправлением путем повторной передачи.

Построим граф переходов в цепи Маркова. Определим состояние системы вектором, имеющим 3 компоненты: .

Временная составляющая t₁ – число тактов,

 , оставшихся до появления заявки на выходе источника (t₁=0, 1, 2), 0 - если источник заблокирован,

t₂-время оставшееся до окончания обслуживания (возможное) заявки в АЛУ. t₂ может принимать два значения:

t₂=0-узел свободен;

 t₂=1-узел занят.

Комбинаторная составляющая j-количество заявок в накопителе.

Построим граф и систему уравнений для стационарных (финальных) вероятностей состояний. P.

В состояние P₀₂₀ система больше не вернется, поэтому P₀₂₀=0.

Обозначим  ,.

Тогда из 1 и 2 получим:

,.

Проведя индукцию по i, будем иметь

Из  6  и  7:

;

.

Уравнение 5 превращается в тождество. Используя уравнение нормировки .

получим:

.

Отсюда, учитывая, что сумма- это сумма геометрической прогрессии, получим

                                                .

Используя полученное значение p (фактически, это вероятность простоя АЛУ) и рассчитав вероятности всех остальных состояний, можно найти другие интересующие нас характеристики системы.

Для просеянного потока математическое ожидание времени обслуживания каналом

, Т- период просеивания.

а) Определяем среднее время обслуживания заявки системы в целом (время пребывания) S.

Для достаточно большого интервала времени Т_p - время на обслуживание в фазе обслуживания T^*=P_обсл.T_p, где P_обсл.= ∑P_{сост.обслуж.}

Для одной заявки: SP_обсл = m

Отсюда: S=

б) Какова интенсивность потока обработанных заявок

(1-p) – вероятность того, что канал обработал заявку.

(1-) – вероятность того, что обработка закончилась.

в) Средняя длина очереди

Пример 2.

Заявка – каждый такт.

Состояние:

            j₁*t₁*j₂*t₂        j₁-0¸n₁            t₁-0, 1, 2

                                    j₁-0¸n₂            t₂-0, 1

Q-схемы (queuingsystem)

                                         (непрерывно-стохастические модели)

При построении моделей такого рода как правило, используются рассмотрения моделируемых объектов, как Систем Массового Обслуживания (СМО).

            Таким образом могут быть представлены различные по своей физической природе процессы – экономические, технические, производственные и т.д.

            В СМО можно выделить два стохастических процесса:

-поступление заявок на обслуживание;

-обслуживание заявок.

Поток событий – последовательность событий, происходящих одно за другим в некоторые моменты времени. В СМО будем выделять два потока:

-входной поток: множество моментов времени поступления в систему заявок;

-поток обслуживания: множество моментов окончания обработки системой заявок.

В общем случае СМО элементарного вида может быть представлено следующим образом

    И                          Н                          К

                                                                                                            Обслуживающий прибор

И – источник;

Н – накопитель;

К – канал обслуживания.

Поток событий однородный, если он характеризуется только моментами поступления этих событий и задается последовательностью , где

            Поток событий неоднородны, если он задается последовательностью ,

где - моменты поступления событий, а - набор признаков события (приоритеты