Расчет линейной электрической цепи с несинусоидальными источниками напряжения

Задача 2.  Расчёт линейной электрической цепи с несинусоидальными источниками напряжения.

К электрической цепи приложено напряжение U(t), заданное графически в виде периодической несинусоидальной функции.

1. Разложить аналитически в гармонический ряд Фурье функцию U(t), ограничившись постоянной составляющей и первыми тремя гаpмониками.
2. Найти показания приборов электродинамической системы, включённых в схему.
3. Определить активную, реактивную и полную мощности цепи.
4. Записать выражение для мгновенного тока на входе цепи.
5. Построить графики напряжения источника и входного тока цепи. На каждом графике показать гармонические составляющие и результирующую кривую. На графике напряжения привести заданную кривую U(t).
6. Построить векторные топографические диаграммы напряжений отдельно для 1-й и 3-й гармоник.

Исходные данные: L = 0.02 Гн,    С = 40 мкФ,   R = 22 Ом, U_a(t) = 100 В,    w = 800 с^-1

График U(t)

Схема электрической цепи

Решение:

Аналитическое выражение функции U(t), исходя из графика, следующее:

Для разложения функции U(t) в ряд Фурье найдём коэффициенты A₀, В_km, и C_km:

Учитывая, что U_a=100 В, то ,  ,  

Таким образом, ряд Фурье до третьей гармоники имеет вид:

 В.

Произведем расчет параметров схемы:

Параллельные катушку L и резистор R в ветви 1 заменим сопротивлением .

Резистор R в ветви 2 заменим на сопротивление .

Резистор R в ветви 3 заменим на сопротивление .

Сопротивление ветви 3 равно , сопротивление параллельных ветвей 2 и 3 равно .

Соответствующие сопротивления для k-ой гармоники равны:

Найдём токи в ветвях 1, 2, 3 для k-ой гармоники:

Найдём падения напряжения на элементах схемы для k-ой гармоники:

Показания измерительных приборов для k-ой гармоники имеют следующие выражения:

Найдём активную и пассивную мощности для k-ой гармоники:

Подставляя номер гармоники в вышеуказанные выражения получаем следующие значения:

Постоянная составляющая:

 Ом

  Ом

 В

 А

 А

 В

 В

 Вт      см

Значения для трёх первых гармоник сведём в таблицу:

Показания приборов имеют следующие значения:

А

В

В

Найдём активную и реактивную мощности:

 Вт

 см

Полная мощность цепи равна:

 ВА 

      => расчёт правильный

Выражения для входного тока имеет следующий вид:

А

График зависимости U(t):

U(t)-результат сложения гармоник, U0(t)-U3(t) – гармонические составляющие, U00(t)-исходный график.

График зависимости I(t):

I(t)-результат сложения гармоник, I0(t)-I3(t) – гармонические составляющие.

Для построения топографической диаграммы найдем потенциалы точек 1,2,3, принимая потенциал точки 0 равным нулю:

Для первой гармоники:    строим в масштабе 1:1

Для второй гармоники:    строим в масштабе 1,188