Определение закона изменения во времени напряжения и построение в масштабе его графика

Задача, №1

Для заданной схемы (рис. 1) требуется:

1.Классическим методом определить закон изменения во времени токов всех ветвей схемы и напряжений на катушке  и конденсаторе .

2.Построить графики изменения во времени тока в катушке  и напряжения на её зажимах .

3.Операторным методом найти закон изменения во времени тока переходного процесса в катушке i_L(t) или напряжения на конденсаторе u_C(t).

Задача №2

На вход несимметричного четырехполюсника (рис. 2) подается импульс напряжения  длительностью  (график 3). Определить закон изменения во времени напряжения  и построить в масштабе его график. Задачу решить с помощью интеграла Дюамеля.

рис. 1

рис. 2

Решение.

Задача №1

Исходные расчётные данные:                   

E=30 B;       r₁=12 Ом;

L=95 мГн;     r₂=24 Ом;

С=120 мкФ;    r₃=17 Ом;

              r₄=9 Ом.

1.Классический метод

Схема электрической цепи:

рис. 3

Составим уравнения для послекоммутационной схемы по законам Киргофа:

          

     .

Решаем данное уравнение:

.

Определим закон изменения напряжения на конденсаторе:

Находим независимые начальные условия:

Рассмотрим докоммутационною схему, заменив в ней конденсатор разрывом цепи, а катушку – коротко-замкнутой перемычкой. Определим при   и

, а

рис. 4

            В

Так как ток , то ток  равен

   А

Находим зависимые начальные условия:

Рассмотрим послекоммутационную схему, в которой заменим катушку источником тока, а конденсатор – источником ЭДС:

рис. 5

Решаем систему методом контурных токов:

рис. 6

В первом контуре контурный ток . Для нахождения второго контурного тока достаточно только одного уравнения.

   В

     А

     А

Найдем напряжение на катушке при

   В

Определим принужденные составляющие тока  и напряжения :

,     В  ;       ;      А.

Найдем постоянные интегрирования:

Для напряжения на конденсаторе:

  В

 В

Проверим для

 В

Определим ток :

 А

Проверим для

 А

Найдем ток

       А

 А

Проверим для

 А

Из схемы мы видим что ток  можно определить как обратную величину от суммы токов  и :

 А

  А

Проверим для

  А

Определим напряжение на катушке :

 В

 В

Проверим для

  В

2.Графики изменения во времени напряжения  и тока в катушке :

График 1

График 2

3.Операторный метод.

Операторная схема замещения:

рис. 7

Независимые начальные условия вычисленные при расчете классическим методом:

 В

 А

Рассчитаем цепь методом узловых потенциалов, считая потенциал узла 0 равным нулю вольт.

 В

                                            (1)

Определим значение  при которых знаменатель выражения (1) обращается в нуль:

; В

 В

Определим напряжение :

;    В

Проверим для

  В

Задача №2

Исходные расчётные данные:

 r1=10 Ом   C=70 мкФ

 r2=8 Ом    =14 В

 r3=7 Ом    c

,при

,при

,при

                                             

График 3

Найдем переходную функцию по напряжению для данной схемы

рис.8

Примем на входе цепи напряжение  равное одному вольту, тогда:

или

Определим закон изменения напряжения на конденсаторе:

Начальные независимые условия:

 В

 В

Составим операторную схему замещения:

рис. 9

Определим постоянную составляющую

     

Ток в цепи конденсатора

Определим

таким образом

Для интервала , где

Для интервала , где

Для интервала :

Таким образом функция напряжения будет принимать значения трёх различных функций на соответствующих интервалах.

,при

,при

,при

                                          

Построим график функции

График 4