Решение типовых задач по теме: "Регрессионный анализ", страница 3

Получим систему нормальных уравнений

Решив систему, найдем а₀ = -0,133; а₁ = 2,086; а₂ = -3,144. Таким образом, z = -0,133 + 2,086x – 3,144y.

Расчетные значения Z_р и квадраты отклонений расчетных значений от фактических Z_ф приведены в табл. 11.

Табл. П11

X	Y	Zф	Zр	(Zф - Zр)2
1	1	-1,1	-1,191	0,008
2	1	0,9	0,895	0,000
3	3	-3,1	-3,307	0,043
1	2	-4,1	-4,335	0,055
2	2	-2,9	-2,249	0,424
3	3	3,1	2,981	0,014
Сумма				0,544

Для заданного уравнения регрессии z = a₀ + a₁x + a₂y составим матрицу X  и транспонированную матрицу X^T

Матрица, обратная матрице системы нормальных уравнений, равна

.

Для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы 6 – 3 = 3 по таблицам распределения Стьюдента находим t_0,05 = 3,18. Тогда случайные ошибки для коэффициентов регрессии, определяемые по формуле   будут иметь следующие значения:

Таким образом, свободный член незначим при уровне значимости 0,05(), а коэффициенты при x и y значимы, т.е. можно считать, что уравнение регрессии имеет вид

z = 2,086x – 3,144y.

Составим матрицу парных корреляций

Парные коэффициенты регрессии можно найти с помощью матрицы С,

если каждый элемент этой матрицы разделить на корень из произведения диагональных элементов, стоящих в одной строке и водном столбце с этим элементом, т.е.                           

причем номера i и j должны точно соответствовать порядку номеров этих коэффициентов в уравнении регрессии  и матрице-столбце А.

Преобразуем матрицу С в корреляционную матрицу по формуле (18.3) и получим

                      

или      

В соответствии с критерием значимости коэффициентов корреляции

где n - объем выборки и  k - число коэффициентов уравнения регрессии

имеем

Таким образом, все коэффициенты корреляции между оценками коэффициентов регрессии незначимы и «эффекта смешивания» нет.

Оценим частные коэффициенты корреляции и множественные коэффициенты корреляции.

Где R_ij - алгебраическое дополнение и │ R│- определитель матрицы оценок парных коэффициентов корреляции.

Разложим определитель матрицы R по первой строке (формула Лапласа).

Критерии значимости коэффициентов корреляции.

1.Коэффициент корреляции r_в, парный коэффициент корреляции r_ij и частный коэффициент корреляции ρ_ij. (n - объем выборки). В случае частного коэффициента корреляции число степеней свободы рано ν=n-k, где n– объем выборки, k - число случайных величин в системе.

Проверяется нулевая гипотеза H₀: r=0 (r_ij=0). По уровню значимости α и числу степеней свободы ν=n-2 по таблицам распределения Стьюдента  находим критическое значение t_α. Если выполняется неравенство

то гипотеза H₀ отвергается, т.е. коэффициент корреляции не равен нулю. В этом случае говорят, что коэффициент корреляции значим при уровне значимости α.. Если же неравенство не выполняется, то нет оснований отвергнуть гипотезу H₀, т. е. коэффициент корреляции незначим при уровне значимости α..

2. Множественный коэффициент корреляции.

Для проверки значимости множественного коэффициента корреляции (в част­ности коэффициента корреляции для системы двух величин, так как этот коэффициент корреляции является и парным, и множественным одновре­мен­но) определяется среднее квадратическое отклонение его оценки

где n – объем выборки; k – число случайных величин в системе. По числу степеней свободы ν=n-k и уровню значимости α по таблицам Стьюдента находим t_α . Критерий значимости определяется неравенством

Отметим, что если по критерию () проверяется значимость коэффициента корреляции для системы двух величин, то в числителе следует взять модуль его оценки.

Средние выборочные, исправленные выборочные дисперсии

и оценки парных коэффициентов корреляции

Матрица парных коэффициентов корреляции