Основные методы интегрирования. Интегрирование заменой переменного. Интегрирование по частям. Интегрирование дробно-рациональных функций. Интегрирование иррациональностей

  III.  Интегрирование дробно-рациональных функций.

   Алгоритм решения:

1)  Выясняем, правильная дробь или неправильная. Если дробь неправильная, то выделяем целую часть с помощью деления числителя на знаменатель.

2)  Если знаменатель правильной дроби раскладывается на множители, то раскладываем эту дробь на элементарные дроби с помощью метода неопределенных коэффициентов или метода частных значений.

   Интегралы от простейших дробно-рациональных функций:

1) 

2) 

3) 

a)  выделяем полный квадрат знаменателя:

b)  делаем замену переменного:

c)  получим интеграл вида: где

d)  первое слагаемое интегрируется заменой  а второе слагаемое  является табличным интегралом.

4) 

a)  как и в случае 3) выделяем полный квадрат знаменателя и делаем замену переменного:

b)  получим интеграл вида: где

c)  первое слагаемое интегрируется заменой  а второе слагаемое  вычисляется тригонометрической подстановкой  или по формуле приведения

  IV.  Интегрирование тригонометрических функций.

1)  Для интегралов   пользуемся формулами:

2) 

a)  -четные, понижаем степень по формулам:  

b)   - четное,  - нечетное,

c)   - нечетное,  - четное,

d)  - нечетные, поступаем либо как в случае а), либо как в случае b).

3)   пользуемся основной тригонометрической подстановкой:  тогда

4)   или

Пример.

  V.  Интегрирование иррациональностей.

1) 

2) 

3) 

4)   «по частям»  или заменой

5)   «по частям»  или заменой

6)   «по частям»  или заменой

7)   выделяем полный квадрат в подкоренном выражении и в зависимости от знака  получим интеграл либо из пункта 4), либо 5), либо 6).

8) 

9) 

10)

11)  

a)  выносим из под корня  (чтобы коэффициент при  был равен 1 или -1);

b)  выделяем полный квадрат в подкоренном выражении;

c)  делаем замену переменного и в зависимости от знака  получим интеграл либо из пункта 8), либо 9), либо 10).

12)  

a)  выносим из под корня ;

b)  выделяем полный квадрат в подкоренном выражении;

c)  делаем замену переменного;

d)  разбиваем на два интеграла, один из которых «берется» заменой переменного, а второй в зависимости от знака  является интегралом либо из пункта 8), либо 9), либо 10).

13)

 где  Таким образом, данный интеграл «свели» к интегралу из пункта 11.

14) Все остальные интегралы, содержащие квадратичную иррациональность, можно свести к дробно-рациональной функции с помощью подстановок Эйлера:

a) 

b) 

c)    или , где  - корни уравнения

15) Для «взятия» интегралов, содержащих квадратичную иррациональность, удобно тождество:

                        (1)

где  многочлены степени  и  соответственно, причем многочлен  записан в общем виде. Задача состоит в отыскании коэффициентов многочлена  и числа . Для этого «берем» производную от левой и правой части равенства (1):

и применяем метод неопределенных коэффициентов.

16) Интеграл от биномиального дифференциала :

a)  если  целое число, тогда интеграл подходит под тип из пункта 3;

b)  если  дробь , но  целое число, тогда используем подстановку

c)  если оба числа  и  дробные, но их сумма  целое число, тогда используем подстановку

Замечание. Вычислить интегралы из пунктов 8 и 9 можно с помощью подстановок Эйлера следующим образом: