Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Итерационные методы систем линейных алгебраических уравнений. Приближенное решение уравнения с одним неизвестным

Если диагональные элементы матрицы А по модулю превосходят суммы модулей остальных элементов соответствующих строк, то разрешив систему (1) относительно неизвестных, стоящих по главной диагонали, придем к системе уравнений вида (3). При этом очевидно, что , определенная равенством (7), будет меньше единицы. Это означает, что выполняется достаточный признак сходимости простой итерации (как и для  и ).

     2 способ. Если для системы уравнений не выполнены достаточные условия, то ее можно с помощью линейных комбинаций преобразовать в эквивалентную систему, для которой условия сходимости будут выполнены. Общих правил сведения системы (1) к системе (3), для  которой выполнены достаточные условия сходимости итерационного процесса, нет. Линейные преобразования зависят от рассматриваемой системы. Цель преобразования – получить при диагональных членах коэффициенты большие по модулю, т. е. свести систему к  1 способу ( на практике этот способ применяется очень редко).

     Пример 1. Найти решение системы

с точностью до 0,001 методом простой итерации.

     Решение.

     1 этап. Приведение данной системы к виду (3).

Так как диагональные элементы матрицы данной системы по модулю превосходят сумму модулей остальных элементов соответствующих строк, то метод простой итерации в этом случае сходится. Разрешая систему относительно неизвестных, стоящих на диагонали, получаем

     2 этап. Расчетную формулу  в данном случае можно представить в виде

или , где  i=1, 2, 3, 4.

     Примем в качестве начального приближения . Полученные результаты вычислений поместим в табл. 1.

                                                                                                                         Таблица 1

     Норма разности между 3-м и 4-м приближением

.

     Следовательно, процесс итерации закончен и

.

     Пример 2. Пусть дана система

                                                                                      (11)

     Решение. 1 этап. Здесь нет преобладания диагональных элементов. Достаточные условия сходимости итерационного процесса для этой системы не выполнены. Произведем такие линейные преобразования, чтобы было преобладание коэффициентов на главной диагонали. Сначала выпишем те уравнения, в которых имеется преобладание некоторых коэффициентов

     Не достает еще двух уравнений с преобладанием коэффициентов у  . Постараемся их получить с помощью линейных преобразований. Вычтем из первого уравнения второе:  - второе уравнение. Умножим первое и третье уравнение системы (1) на два и сложим, а затем вычтем второе и четвертое уравнения. В результате получим   - четвертое уравнение.

     Система будет выглядеть следующим образом:

К этой системе может быть применен метод простой итерации, т. к. коэффициенты на главной диагонали преобладают.

2.  Метод Зейделя

Пусть система линейных алгебраических уравнений (1), как и в методе простой итерации, приведена в результате линейных преобразований к виду (3). Систему (3) будем решать методом последовательных приближений следующим образом: при вычислении (k+1) приближенного значения неизвестной   при  используются уже вычисленные ранее (k+1) приближения неизвестных  и (k) – приближения неизвестных . Таким образом, если задан начальный вектор решения  системы (1), то нахождение ее первого приближенного решения методом Зейделя ведется по формулам:

               (12)

Аналогично (k+1) – приближенное решение, которое находится по формуле

                         (13)

или    .

     Запишем систему уравнений (13) в матричной форме

                                             ,                                         (14)

,

причем матрица С,входящая в уравнение (4), равна сумме    и  : .

     Из системы (14) находим 

                                                                 (15)

     Из выражения (15) видно, что метод Зейделя эквивалентен некоторому методу простой итерации, поэтому для его сходимости при любом начальном приближении необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матриц  по модулю были меньше единицы. Области сходимости у метода Зейделя и метода итерации разные. Поэтому при сходимости одного метода другой может не сходиться и о быстроте тоже ничего определенного сказать нельзя. Достаточный признак сходимости у обоих методов один и тот же, т. е. какая-либо из норм (для метода Зейделя ) меньше единицы. На практике итерационный процесс по методу Зейделя заканчивается, если разность между двумя соседними приближениями по норме становится меньше заданной