Построение линии пересечения фигур методом пучка плоскостей

Вопрос №32.

Построение Линии пересечения фигур методом пучка плоскостей. 

Способ применяется для построения линии пересечения конических поверхностей, оси которых  представляют линии общего положения, а также для построения линии пересечения конической или цилиндрической поверхностей  с поверхностью пирамиды или призмы.

Рассматривает пример построения линии пересечения двух конусов, оси которых представляют линии общего положения (рис.77).

Через вершины S₁   и S₂ конусов  проводится линия S₁ - S₂  и находится след  ее пересечения с плоскостью Н - точка  N.

Через линию S₁ - S₂ проводится пучок плоскостей Q_i. Эти плоскости пересекают поверхности a и b по образующим. Пересечение соответствующих образующих определяют точки, принадлежащие линии пересечения поверхностей.

Построение линии пересечения поверхностей выполняется в следующем порядке:

Через точку  n проводится след Q_1н касательно к основанию конуса b. Эта линия касается основания поверхности b в точке 1 и пересекает основание поверхности a в точках 2 и 3 (см.рис.77).

Через точки 1,2,3 проводятся образующие  поверхностей a и b и определяются точки пересечения – точки m и n.

Строится фронтальная проекция образующей S₁-1 и на нее проецируются точки m, n – точки m’, n’.

Через точку n проводится след Q_2H касательно к основанию конуса a. Эта линия коснется основания в точке 4 и пересекает основание конуса b в точках 5, 6.

Через точки 4, 5, 6 проводятся образующие поверхностей a и b и определяются их точки пересечения – k, t.

Строится фронтальная проекция образующей S₂ – 4 и на нее проецируются точки k, t – точки k’, t’.

Через точку n проводится след Q_3H. Эта линия пересекает основание конуса a в точках 7, 8 и основание конуса b – в точках 9, 10.

Через точки 7, 8, 9, 10 проводятся образующие поверхностей a и b и определяются их точки пересечения c, d, q, h.

Строятся фронтальные проекции образующих S₂ – 7 и S₂ – 8 и на них проецируются точки c, d, q, h – точки c’, d’, q’, h’.

Дополнительные точки линии пересечения поверхностей a и b возможно получить с помощью вспомогательных плоскостей Q_i способом, приведенным в пунктах 6 ÷ 8. Горизонтальные проекции следов Q_iH следует располагать в промежутке между следами Q_1H и Q_2H.

На горизонтальной и фронтальной проекциях точки M, N, K, T, C, D, Q, H соединяются плавной линией.

Таким образом, в результате построений получают проекции линии пересечения конусов a и b.