Определение объёма выборки, страница 4

t= (x - ) / σ

m¹=, где i – это величина интервала.

X²_факт = Σ 

X²_факт=(14-6,18)² /6,18 + (18-20,18)² /20,18  + (25-27,73)² /27,73 + (18-17,7)² /17,7 + (10-5,3)² /5,3 = 14,57

X²_т = (p ; k) , где

      P=0,9975

k=n-r-1=5-2-1=2

Смотрим по специальной таблице значение X²_ф=(0,9975 ; 2) = 6,64

Вывод: сравнивая фактическое и теоретическое значения, видим, что фактическое больше  теоретического, следовательно, теоретическое распределение не подчиняется закону нормального распределения.

Критерий Колмогорова:

Для начала составим таблицу, где S_m это сумма эмпирических накопленных частот, S’_m это сумма теоретических накопленных частот. 

Sm	S’m	Sm-S’m
14	6,18	7,82
32	26,36	5,64
57	54,09	2,91
75	71,79	3,21
85	77,09	7,91

λ = Д / √n

Д= max{ S_m-S’_m }=7,91

n = ∑m = 85

λ = 7,91/√85 = 7,91/9,22 = 0,858

По специальной таблице смотрим, какое значение p соответствует λ=0,858

Следовательно, p=0,468.

Вывод: С  вероятностью 0,468 можно утверждать, что отклонение в частотах является несущественным, а фактическое распределение подчиняется законам нормального распределения.

Задание №2

Определить ошибки выборки по результатам предыдущей задачи (типический способ отбора) и определить необходимый объем выборки при заданной β.

P=0.9975

β=2%

∆=t*, где

N=510

 n=180

t- коэффициент доверия, который определяется по специальной таблице, в зависимости от заданной вероятности.

t = 3

σ²=138,87

∆=3*√((138,87/180)*(1-180/510) ) = 3*√(0.7715*(1-0.353)) = 2,12

Далее найдём среднюю генеральную совокупность

ˉx= x̃ ± Δ

 x̃= ∑x_i*m_i/∑m_i = (3460+3334) / (95+85) = 37,74

ˉx= 37,74 ± 2,12

Доверительный интервал:

35,62 ≤ ˉx ≤ 39,86

 β= Δ/x̃ *100%

 β= 2,12 / 37,74 *100% = 5,62%

Вывод: При объёме выборки в размере 180 работников из 510 и заданной вероятности относительная ошибка выборки составляет 5,62%, из чего следует что объём выборки достаточно высок, так как β менее 12%.

Далее определим объём выборки, так чтобы, относительная ошибка выборки β была равна 2%

Для начала найдём абсолютную ошибку выборки

Δ= (x̃*β) /100

Δ= (37,74*2) /100 = 0,75

n= (t²* σ²*N)/(Δ²*N + t²* σ²)

n= (9*138, 87*510)/(0,5625*510 + 9*138,87) = 637413,3 / 1536,705 = 414,78 ≈ 415 работников.