Параболическая интерполяция. Формула Лагранжа

12.

Параболическая интерполяция.

Формула Лагранжа.

Общий случай. Какова бы ни была задана  функция f(x) и как бы ни были выбраны узлы интерполяций x0,

x1,...xn, всегда существует единственный многочлен, n-й степени φn(x), принимающий в этих точках те же значения, что и f(x): φ(xί)=f(xί) (ί=0,1,2,...n). Для нахождения интерполяционного многочлена может служить формула Лагранжа:  φn=L0(x)f0+ L1(x)f +...+ Ln(x)fn , где   Lί(x)=     (x-x0)...(x-xί-1)(x-x ί+1)...(x-x n)

                                                                                                               (x ί-x 0)...(x ί-x ί-1)(x ί-x ί+1)...(x ί-x n)

и F ί =F(x ί). Если требуется вычислить значение φn(x) при каком-либо определённом x, может быть использована следующая схема («крест на крест») особенно удобная при применении счётной машины:

x0 –x   f0

x 1-x   f1       (f0, f1) 

x 2-x   f2       (f0, f2)    (f0,f1,f2 )

......................................................................

x n –x fn (f0, fn )  (f0,f1,fn) .... (f0,f1........, fn ).

Каждый символ (f0,f1........, fk) обозначает значение в точке х интерполяционного многочлена, построенного по узлам x0, x1,......, xk . Эти числа вычисляются, столбец за столбцом, следующим образом. Числа столбца (f0,fk) получают по формуле (f0,fk) =   (x0 –x)fk – (xk–x)f0              Каждый следующий столбец получается из

 предыдущего по такой же схеме,      (x0 –x) – (xk –x)f0                  

например :     

   (f0,f1,fk )=  (x1 –x)(f0,fk )– (xk–x)(f0,f1)                          и т.д.

                                               (x1 –x) – (xk –x)                    

Пример:Требуется вычислить sin 50, используя пятизначные значения синусов, 0, 30, 45, 60, 90. Схема «крест на крест» в этом случае выглядит следующим образом:

-59     0.00000

-20     0.50000      0.83333

-5       0.70711      0.78568     0.7  6980

10       0.86603      0.72169    0.7   5890  66   17

40       1.00000      0.55556     0.7   4074  66  57   04

Если первые цифры в каком-либо столбце оказываются одинаковыми (в приведенном примере они отделены), их можно не вводить в дальнейшие вычисления. Так например, в последнем столбце получаются последние цифры результата :   (10*57-40*17)/(10-40)=04, окончательно, sin50=0.76604