4. Теорема о свертке.
Чрезвычайно
важной операцией, выполняемой над функциями f(t) и g(t)является образование их свертки , которую при фиксировании одной из
функций можно рассматривать как линейный оператор.
Классическим
примером свертки является отклик физически не реализуемой цепи с постоянными
параметрами, имеющей импульсную характеристику h(t), на входной сигнал s(t): .
Физическая нереализуемость означает, что импульсная характеристика h(t) отлична от нуля при t < 0. Напомним, что h(t) это реакция цепи на
дельта-функцию, поданную на вход цепи в момент времени t = 0, т. е. для таких цепей отклик (следствие) возникает
до подачи воздействия (причины).
Найдем
преобразование Фурье свертки функций f(t) и g(t), что сводится к вычислению двойного интеграла вида . Меняя порядок интегрирования по t и t получим
. Выражение в квадратных скобках в
соответствии с теоремой смещения есть
.
Учитывая, что
, получим
окончательно
, т. е. свертке
сигналов во временной области соответствует в частотной области перемножение
спектров.
Аналогично
доказывается, что произведению функций f(t)·g(t)
соответствует свертка спектров и
, а именно
. Наряду со спектром, задаваемым
преобразованием Фурье сигнала s(t) для всей области его определения, иногда приходится
рассматривать текущий спектр, который в зависимости от особенностей решаемой задачи
может быть определен как
(5.6)
или
.
(5.7)
Часто
удобно использовать симметричную форму задания текущего спектра .
С помощью текущего спектра можно получить наглядную картину изменения спектра сигнала в зависимости от его длительности. Сделаем это для гармонического колебания s(t) = Um cos w0t, воспользовавшись симметричной формой задания текущего спектра:
.
При
записи этого результата мы использовали известную формулу Эйлера . Выполняя интегрирование и учитывая
вторую формулу Эйлера
,
получим окончательно
.
Анализ
этого выражения показывает, что при малых значениях t
() формируется спектр
видеоимпульса, концентрирующийся вокруг нулевой частоты. С ростом t начинает формироваться спектр радиоимпульса,
концентрирующийся вокруг частот ± w0. При t ®
¥ мы получаем спектр гармонического
колебания
,
представляющий собой две дельта-функции, расположенные в точках w0 и –w0. Такие спектры называют дискретными или линейчатыми.
Для синусоидального колебания s(t) = sin w0t при задании текущего спектра в форме (5.7) получим:
.
Если
рассматривать значения текущего спектра в дискретные моменты времени t = tn = n = n
, где Т0 =
=
–
период синусоидального колебания s(t), то можно получить выражение для
амплитудно-частотного спектра в виде
.
Отметим, что п
– это число полупериодов рассматриваемого колебания. В полученном выражении
функция sin соответствует четным п, а cos – нечетным п.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.