Исследование свободных процессов в электрических цепях

линейных цепях свободный процесс описывается линейными дифференциальными уравнениями, и его вид определяется корнями характеристического уравнения (собственными частотами цепи ).

+                                                                                                                                      а)                                                                 б)

Рис. 1

При возбуждении цепи источником тока собственные частоты можно рассчитать как нули входной проводимости :

1.  для цепи первого порядка, изображенной на рис. 1, а),

откуда получим

2.  для цепи второго порядка, изображенной на рис. 2, б),

        откуда

        где

Общий вид решения для напряжения любого элемента цепи

где  — постоянные интегрирования,  — порядок цепи.

У цепи первого порядка одна собственная частота (1), вещественная и отрицательная, свободный процесс имеет вид

процесс экспоненциальный, причем  — постоянная затухания, а  — постоянная времени экспоненты. Временная диаграмма свободного процесса показана на рис. 2, а), причем  — интервал времени, соответствующий любой подкасательной к экспоненте.

В цепи второго порядка две собственные частоты (2) могут быть вещественными (апериодический режим; временная диаграмма суммы двух экспонент, изображенных пунктиром, показана на рис. 2, б) или комплексно-сопряженными. Комплексно-сопряженным частотам соответствует качественно новый характер свободного процесса — колебательный:

где  — постоянная затухания,  — частота затухающих колебаний. Временная диаграмма колебательного процесса представлена на рис. 2, в).

В цепи второго порядка возможен также критический режим (, кратные собственные частоты); вид процесса  близок к диаграмме, показанной на рис. 2, б), причем момент достижения максимума , если .

а)                                                        б)                                                             в)

Рис. 2

В некоторых случаях собственные частоты относительно просто рассчитываются по осциллограммам. Например, согласно (3), по рис. 2, а) можно рассчитать постоянную затухания:

В случае 2, в) постоянная затухания также может быть определена на основании (5), но при этом обязательно выполнение условия , что вытекает из (4).

Особый интерес представляет определение добротности  RLC-контуров по виду свободного процесса. Для последовательного RLC-контура справедлива формула

где  — частота незатухающих колебаний в идеальном контуре (). Согласно (2) собственные частоты последовательного RLC-контура можно записать в виде

причем  соответствует апериодический режим,  — критический,  — колебательный, а  — незатухающий колебательный.

При  с высокой степенью точности можно считать

С учетом (6) формула, позволяющая в данном случае определить добротность по осциллограмме 2, в), имеет вид

Для повышения точности можно брать отношение напряжений за  периодов колебаний:

Замечание. Собственные частоты цепей можно было рассчитать и, например, с использованием уравнений состояния. Так, для цепи, изображенной на рис. 1, б), составим такие уравнения Кирхгофа:

откуда очевидным образом следует система дифференциальных уравнений

Характеристическое уравнение имеет вид  или, что то же самое, . Его корни равны

этот результат с точностью до обозначений совпадает с (2).

3. Исследование цепи первого порядка

3.1 Схема

3.2 Теоретический расчет

Дано:     

                             

Согласно формуле (1) второго раздела, получим

То есть, свободный процесс имеет вид  (если  в с) либо  (если  в мс).

Рис. 3  Расположение корня ХУ в комплексной плоскости

3.3 Практический расчет

Построим график согласно табл. 1 экспериментальных значений  на осциллограмме (рис. 4).

Табл. 1    , мс , дел 72 0,1 20 0,2 10 0,3 3 0,4 1 0,5 0

Рис. 4

Взяли:    

                  

Найдем  по формуле (5) 2 раздела, выразив время  в мс:

Заметим, что полученное значение  достаточно хорошо согласуется с теоретическим .

4. Исследование цепи второго порядка

4.1 Схема

4.2 Теоретический расчет

4.2.1 Колебательный режим

Дано:     

                 

                 

Согласно формуле (2) второго раздела, получим (t в секундах)

Для  в мс

Тогда аналитическое выражение свободного процесса имеет вид

Рис. 5  Расположение корней ХУ в комплексной плоскости (колебательный режим)

4.2.2 Апериодический режим

Дано:     

                 

                 

Согласно формуле (2) второго раздела, получим (t в секундах)

Для  в мс: , , .

Тогда свободный процесс имеет аналитическое выражение

Рис. 6  Расположение корней ХУ в комплексной плоскости (апериодический режим)

4.3 Осциллограммы

Табл. 2    , мс , дел 0 0,05 40 0,1 0 0,125 −8 0,175 −10 0,25 4 0,275 −3 0,375 1 0,5 0

Рис. 7  Осциллограмма колебательного режима цепи

Табл. 3    , мс , дел 75 0,08 40 0,1 30 0,14 20 0,18 10 0,2 7 0,3 3 0,4 2 0,5 0

Рис. 8  Осциллограмма апериодического режима цепи

4.4 Практический расчет  (колебательный режим)

Воспользуемся осциллограммой колебательного режима (рис. 7), и возьмем  из соображения :

                  

                  

Тогда, по формуле (5) постоянная затухания равна:

Собственная частота колебаний равна, очевидно,

Отсюда (для t в секундах) собственные частоты равны:

Для  в мс, соответственно, .

Как видно из сравнения результата с теоретическим (п. 4.2.1), наибольшая ошибка наблюдается при вычислении колебательной составляющей  периодического процесса.

4.5 Оценка добротности по осциллограмме

Как и в предыдущем пункте, возьмем

                  

                  

и воспользуемся формулой (9) раздела 2:

Вывод: происходит колебательный процесс (1,364 > 0,5); вместе с тем 1,364 < 10, значит, колебания в системе затухают весьма быстро. Это можно наблюдать и на осциллограмме (рис. 7).

5. Заключение

Выполнив данную лабораторную работу, мы изучили связь между видом свободного процесса в электрической цепи и расположением собственных частот на комплексной плоскости. Нами были приближенно вычислены (по осциллограммам) собственные частоты для цепи первого порядка и цепи второго порядка в колебательном режиме. Мы также оценили добротность RLC-контура (цепь второго порядка) по осциллограмме колебательного процесса.

Как видно из предыдущих пунктов работы, для цепи первого порядка