Провести гармонический анализ исходного временного ряда. Подобрать ARIMA модель для остатков от тренда. Оценить параметры модели (обосновать выбор порядка модели)

Типа всем привет. Короче, я тут постараюсь изложить вкратце, что и как делал сам. Полного описания не гарантирую, потому, как ломает, да и может у меня ряд лучше вашего, например =). Думаю, особо заморачиваться не будем. Да, кстати, кто не понял, ссылки будут на страницы и формулы из электронного учебника (у меня файл называется EconometriyaBook3.pdf). Мои расчеты смотри в файле «расчеты.xls».

Пункт 6. Провести гармонический анализ исходного временного ряда:

А) рассчитать коэффициенты Фурье.

Для расчетов коэффициентов будем пользовать формулу (13.14) на стр. 65. Для этого определим сначала матрицу CS.

Эту матрицу получаем, рассчитывая столбцы (при фиксированном j и бегающем t) по формулам (13.1) стр.63. У меня 105 значений, значит 53 косинусов и 52 синусов. Получилась такая нехилая матричка :). Как ее обратить в экселе, я не знаю, поэтому предлагаю воспользоваться матриксером :). Значит копируем ее в матрикс. Особых проблем это не представляет. Справа на панельке там есть значок А в -1. Выбираем нашу матрицу, наживаем кнопку, задаем имя результата. Вот и все:). Теперь, например, также в матриксере, умножаем вектор исходных значений на полученную матрицу слева. Получили столбец длинной равной длине исходного ряда. Это и есть столбец коэффициентов Фурье. В начале идут альфа (их столько же сколько в матрице CS было косинусов, при этом первый коэффициент это альфа 0), все остальное это коэффициенты бета (начиная с 1). Я их перенес на лист «Гармонический анализ 2». Да кстати, кто не знает в матриксере есть функция «копировать с запятыми» (открываем матрицу, меню Буфер), это чтоб потом не возиться с заменой.

Б) показать выполнение теоремы Парсеваля.

Фактически это значит, что нужно проверить выполняются ли формулы (13.18)-(13.19) стр.67. Я думаю про это особо писать нечего, напомню, что Ri^2 это сумма квадратов соответствующих коэффициентов (альфа и бета). Вычисляем соответствующие суммы и сравниваем с дисперсией исходного временного ряда (используем формулу ДИСПР). 

В) построить график периодограммы и выборочного спектра.

Для того чтобы нарисовать эти замечательные каракули, нам потребуется рассчитать интенсивности по формуле на странице 68. Вместо I0 лучше сразу подставить 0, иначе ничего не будет видно. Рисуем периодограмму. Выборочный спектр это практически тоже самое просто мы строим уже не просто Ij, а пару точек (Ij, j/T).

Г) выделить наиболее значимые гармоники.

Ну, это совсем просто. Выделяем те Rj, которые существенно больше остальных (критерий выбираете сами, у меня они выделены желтым цветом).

Д) построить гармоническую модель, объясняющую 70-90% вариации временного ряда.

Смотрим, какую долю в дисперсии объясняют выделенные нами гармоники (замечу, что R0^2 нельзя брать в расчет, это просто квадрат среднего). Т.е. суммируем их, делим пополам и относим к общей дисперсии исходного ряда. У меня получилось 84,6%, что вполне подходит. Расчет модели я проводил на листе «Гармонический анализ 3». Для этого строим регрессию исходного ряда на косинусы и синусы j, которые соответствуют выделенным нами гармоникам (у которых j совпадает, их берем из матрицы CS). Константу добавлять не надо (это просто с0).

Ну вот и кончился гармонический анализ.

Пункт 7. Подобрать ARIMA модель для остатков от тренда. Оценить параметры модели (обосновать выбор порядка модели):

Очень долго мучил это задание, ниже написаны комментарии по ходу, но лучше сначала почитайте то, что будет озаглавлено как З.Ы. этого пункта.

Честно говоря, это самый дурацкий пункт, я не знаю, как правильно подбирать параметры арима процесса. Но решил делать таким вот образом: на странице 128 (первый абзац в «распознавании модели») написано, что анализируем разности исходного ряда (теперь исходный ряд это уже остатки от тренда), пока они не станут стационарными. Формула разностей приведена на странице 31. Для определения стационарности я использовал критерий Спирмена и критерий Бартлетта. У меня к счастью получилось, что остатки стационарны относительно мат ожидания и дисперсии. Таким образом у меня d=0. Если у вас получилось, что d=d, то вычисляете d-е разности остатков и дальше работаем с ними.

Для выбора параметра p нам потребуется рассчитать частную автокорреляционную функцию, способ ее расчета описан на странице 107. Итак, для расчета k выборочных коэффициентов частной автоковариационной функции нам необходимо построить k регрессий. Я для порядка взял k=12 (у меня наблюдения месячные, но на самом деле можно взять штук 6). Строим регрессию остатков на их лаги и берем последние коэффициенты (то есть сначала на один лаг, это будет первый коэффициент, потом на два лага, из этой регрессии последний коэффициент будет вторым коэффициентом частной выборочной автокорреляционной функции и т.д.). Замечаем последний большой коэффициент автокорреляции (не спрашивайте, что значит большой, я, к примеру, решил, что у меня это 5). Но это еще не есть p, это лишь то, что поможет нам его найти.