Задачи по темам "Совершенные рынки", "Общественные блага", "Экстерналии". Вариант 1-3

(ВАРИАНТ 1)

Задача 1

В экономике с двумя благами y, m имеются два потребителя с функциями полезности вида:

               u₁(y, m₁) = av ₁(y) + m₁

               u₂(y, m ₂) = bv ₂(y) + m₂ ,  где a, b³ 0.

Функции v ₁(y) и v ₂(y) дифференцируемые, строго возрастающие и строго вогнутые.

Единственный производитель имеет технологическое ограничение вида

               y – 2(t₁ + t₂) ³ 0,  где t_i - вклад потребителя i в финансирование производства блага y.

При a = , b = состояние (, ₁, ₂) является Парето-оптимальным,  а при a = k , b = k , где k >1, состояние (, ₁, ₂) является Парето-оптимальным. Предполагаем, что обе рассматриваемые точки внутренние.

Что больше, или ? Будет ли ответ на этот вопрос однозначным? Обоснуйте свое утверждение.

Задача 2

В экономике есть одно общественное благо z и одно частное благо x, два потребителя с целевыми функциями u₁(z,x₁)= +x₁ , u₂(z,x₁)=2+x₁ и начальными запасами частного блага w₁=4, w₂=8. Общественное благо можно произвести из частного по технологии z=4y.

а) Найдите все Парето-эффективные состояния экономики.

б) Найдите равновесие Линдаля.

в) Найдите равновесие по добровольной подписке.

г) Найдите равновесие с долевым финансированием с равными долями.

Задача 3

Две фирмы оказывают друг на друга внешние влияния. Цена на продукцию 1-й фирмы равна 13, цена на продукцию 2-й фирмы равна 11. Функции издержек равны соответственно

                c₁ = 2y₁²+4y₁y₂+y₂²,

                c₂ = 3/2y₂²+2y₁y₂+3/2y₁²,             где y₁, y₂ — объемы выпуска.

Найдите (а) равновесные объемы производства;

                (б) Парето-оптимальные объемы производства;

                (в) корректирующие налоги/дотации Пигу.

Задача 4

Три соседа по комнате решают, приобрести ли вскладчину музыкальный центр. В продаже имеются музыкальные центры двух типов - дорогой (цена 15 тыс. р.) и дешевый (цена 6 тыс. р.)  Каждый из соседей определил лично для себя ценность музыкального центра. Денежные выражения этих ценностей помещены в таблице:

Имя соседа	Полезность дорогого музыкального центра, тыс. р.	Полезность дешевого музыкального центра. тыс. р.
А	6	5
В	6	3
С	4	0

Чтобы каждый из соседей сообщил свою оценку, используется механизм Гровса-Кларка. Укажите численные значения результирующих налогов Кларка, предполагая равные доли финансирования выбранного (какого?) музыкального центра.

(ВАРИАНТ 2)

Задача 1

В экономике с двумя благами y, m имеются два потребителя с функциями полезности вида:

               u₁(y, m₁) = av ₁(y) + m₁

               u₂(y, m ₂) = bv ₂(y) + m₂ ,  где a, b³ 0.

Функции v ₁(y) и v ₂(y) дифференцируемые, строго возрастающие и строго вогнутые.

Единственный производитель имеет технологическое ограничение вида

               y – 2(t₁ + t₂) ³ 0,  где t_i - вклад потребителя i в финансирование производства блага y.

При a = , b = в Парето-оптимальном состоянии y = . При a = k , b = k  (k >0) в Парето-оптимальном состоянии y = , где > . Предполагаем, что обе рассматриваемые Парето-оптимальные точки внутренние.

Можно ли утверждать, что k >1 или k <1? Обоснуйте свое утверждение.

Задача 2

Экономика обмена состоит из двух участников, потребляющих два блага, общественное благо y и частное благо х. Функции полезности потребителей равны u₁= + x₁, u₂= 8 + x₂. Общественное благо участники могут покупать по цене, равной цене частного блага. Начальные запасы частного блага равны w₁= 20, w₂=20.

а) Найдите все Парето-эффективные состояния экономики.

б) Найдите равновесие Линдаля.

в) Найдите равновесие по добровольной подписке.

г) Найдите равновесие с долевым финансированием с равными долями.

Задача 3

Две фирмы оказывают друг на друга внешние влияния. Цена на продукцию 1-й фирмы равна 20, цена на продукцию 2-й фирмы равна 17. Функции издержек равны соответственно

                c₁ = 5/2y₁²+4y₁y₂+y₂²,

                c₂ = 3/2y₂²+2y₁y₂+y₁²,   где y₁, y₂ — объемы выпуска.

Найдите (а) равновесные объемы производства;

                (б) Парето-оптимальные объемы производства;

                (в) корректирующие налоги/дотации Пигу.

Задача 4

Три соседа по комнате решают, приобрести ли вскладчину телевизор. В продаже имеются телевизоры двух типов - дорогой (цена 9 тыс. р.) и дешевый (цена 5 тыс. р.)  Каждый из соседей определил лично для себя ценность телевизора. Денежные выражения этих ценностей помещены в таблице:

Имя соседа	Полезность дорогого телевизора, тыс. р.	Полезность дешевого телевизора. тыс. р.
А	7	3
В	3	2
С	1	1

Чтобы каждый из соседей сообщил свою оценку, используется механизм Гровса-Кларка. Укажите численные значения результирующих налогов Кларка, предполагая равные доли финансирования выбранного (какого?) телевизора.

(ВАРИАНТ 3)

Задача 1

В экономике с двумя благами y, m имеются два потребителя с функциями полезности вида:

               u₁(y, m₁) = av ₁(y) + m₁