Экономическая модель "затраты-выпуск"

                      “ЗАТРАТЫ-ВЫПУСК”

     В примере приведены: сельское хозяйство с общим годовым производством 100 бушелей пшеницы; обрабатывающая промышленность. производящая 50 ярдов ткани, и, наконец, домашние хозяйства. обеспечивающие 300 человеко-лет рабочей силы.  Девять (3х3) клеток в таблице показывают межсекторные потоки. Из 100 бушелей пшеницы, произведенной на фермах, 25 были использованы внутри самого сельскохозяйственного сектора,  20 - доставлены на фабрики и составили ее  “затраты”, а 55 - потреблены домашними хозяйствами. Вторая и третья строки таблицы  подобным образом описывают распределение “затрат” двух оставшихся секторов. Величины, стоящие в каждой колонке таблицы, описывают, таким образом, структуры “затрат” в соответствующем секторе. Для производства 100 бушелей результирующего “выпуска” сельское хозяйство потребляет 25 бушелей собственного продукта, 14 ярдов тканей и 80 человеко-лет труда, предоставляемого сектором домашних хозяйств; сектор обрабатывающей промышленности для производства 50 ярдов своего результирующего “выпуска” должен получить и использовать 20 бушелей от сельскохозяйственного и 6 ярдов из своего собственного (т. е. промышленного) продукта, а также 180 человеко-лет труда от домашних хозяйств. Последние, в свою очередь, тратят заработки, полученные за 300 человеко-лет труда, на оплату 55 бушелей сельскохозяйственного и 30 ярдов промышленного продуктов и 40 человеко-лет по предоставлению услуг рабочей силы.

     Для удобства математической обработки данные  представим в виде трех матриц:

             25     20   55                          55                         100

 X  =    14       6    30     ,         Y =     30      ,       Z  =      50     .  

80   180    40                          40                         300

     Матрица X  показывает “ЗАТРАТЫ-ВЫПУСК” для трехсекторной экономики.  Каждый элемент матрицы xij используется для обозначения продукта сектора  i,  используемого в качестве затрат сектором j.

     Матрица  Y  отображает количество всех типов товаров, полученное потребителями ( домашними хозяйствами ). Каждый элемент матрицы yi  показывает окончательный спрос на i-й продукт.

     Матрица Z показывает физический выпуск  продукции по секторам. Элемент матрицы zi показывает физический выпуск продукта i.

     В общем виде  матрицы X, Y и Z для n-секторной экономики будут выглядеть следующим образом:

             x11  x12  ...  x1n                                        y1                                        z1

 x21  x22  ...  x2n                                         y2                                        z2

 X = .......................   ,      Y  =      ...      ,      Z =      ...       .

xn1  xn2  ...   xnn                                        y n                                       zn

     Количество выпуска продукции сектора i, поглощаемое сектором j на единицу его собственного результирующего выпуска zj , обозначается символом aijи называется входным коэффициентом продукта сектора i в сектор j:

aij=xij/zj ,                                                                                                          

     В общем виде структурная матрица A будет выглядеть следующим образом

             a11a12  ..  a1n        

a21a22  ..  a2n         

A  =    ......................     .

an1an2  ..   ann 

Структурная матрица A, полученная из табл. 1.1 по формуле (1.3), будет иметь вид:

0.25   0.40   0.183

A  =0.14   0.12   0.100     .  

0.80   3.60  0.133

    Статическая система “затраты-выпуск”

     Баланс полного выпуска продукции и суммарных затрат в каждом секторе, как показано в примере,  может быть описан следующей системой m=n-1 уравнений:

       (z1 - x11) - x12    - ... - x1m = y1

       -x21 + (z2-x22) - ...   -x2m = y2                                                                 

      ...........................................

      -xm1 - xm2 - ... -(zm -  xmm) = ym

Получим m  общих соотношений равновесия между общими выпусками  z1 , z2, ... , zm, всеми производящими  секторами и конечным набором товаров  y1 , y2, ... , ym,  полученных  потребителями:

       (1- a11)z1 -  a12 z2   - ... - a1mzm = y1

       -a21z1 +(1- a22)z2  - ... - a2mzm = y2                                                                    

      .....................................................

      -am1z1 - am2z2  - ... -(1-  amm)zm = ym

Матрицу  констант левой части системы обозначим буквой D,

               (1- a11)- a12   - ... - a1m

               -a21  (1- a22)  - ... - a2m 

    D  =    ..................................

               -am1 - am2  - ...  (1-  amm)

тогда система линейных уравнений в матричном виде будет выглядеть следующим образом:

       D Z = Y                                              

     Если предполагается, что известен окончательный спрос - y1 , y2, ... , ym ,  то система может быть решена относительно m валовых выпусков продукции секторов -  z1 , z2, ... , zm.

     Общее решение этих уравнений равновесия для “неизвестных” z1 , z2, ... , zm может быть представлено в следующем виде:

 Z = D-1Y                                                     

     Матрицу, обратную матрице D, обозначим буквой  H, тогда уравнение (1.8) можно будет записать следующим образом:

   Z = H Y                                               

Матрица H в общем виде будет:

             h11  h12  ..  h1m

            h21  h22  ..  h2m

  H =    .........................   ,

             hm1  hm2  ..   hmm

а общее решение может быть представлено в следующем виде:

z1 = h11y1 + h12 y2  + ... + h1mym

z2= h21y1 + h22 y2   + ... + h2mym

.............................................................................

zm= hmmy1 + hm2y2   + ... + hmmym

Константа hij показывает на сколько вырос бы выпуск zi  i-го сектора, если бы yj (т.е. величина товара j, полученная домашними хозяйствами или другими потребителями конечного продукта) увеличилась на единицу. Подобное увеличение коснулось бы сектора i непосредственно (а также косвенно), если i=j, но при i, не равном j, выход zi затрагивается лишь косвенно, поскольку сектор i должен обеспечить дополнительные “затраты“ для всех остальных секторов, которые, в свою очередь, прямо или косвенно должны участвовать в увеличении поставок yjсектора j конечным потребителям.