Переходные процессы в линейных электрических цепях

линейных электрических цепях свободные составляющие токов и напряжений затухают во времени по показательному закону e^pt

       Из трех токов (полного, принужденного и свободного) основое значение имеет полный ток. Полный ток является тем током , который в действительности протекает по той или иной ветви цепи при переходном процессе. Его можно измерить и записать на осциллограмме .

                          1 закон коммутации.

       Ток через индуктивность непосредственно до коммутации i_L(0_) равен току через ту же индуктивность непосредственно после коммутации i_L(0₊)

                           2 закон коммутации.

       Напpяжение на емкости непосредственно до коммутации U_C(0_) равно напряжению - после коммутации U_C(0₊)

Для послекоммутационной схемы составляют уравнение по законам Кирхгофа для полных токов.

       В этих уравнениях  i₁, i₂, i₃ - полные токи. Для того чтобы от этой системы уравнений перейти к уравнениям для свободных токов, освободим систему от вынуждающих э.д.с. и вместо  i₁   запишем i_1св , и т.д.

Это уравнение представляет собой систему алгебраических уравнений и не

содержит производных и интегралов.

        Переход от систему дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений из алгебраизацией системы дифференциальных уравнений.

D 

-  определитель системы.

       D₁ получают из определителя системы D путем замены первого столбца правой частью уравнения 5.

      D₂ получают из D путем замены второго столбца правой частью системы (5). Если в определителе один из столбцов состоит из нулей, то D₁=0, D₂ =0, D₃=0.

        Свободные токи могут быть не равны нулю в том случае, если определитель системы D=0. Уравнение D=0 из характеристическим уравнением.

        Если дробь равна 0, то равен 0 ее числитель.   =>

        Говорилось, что i_св=Ae^pt.

        Если характеристическое уравнение будет иметь не один корень, а несколько, например n, то для каждого свободного тока нужно взять

        Характеристическое уравнение для определения p часто составляют более простым путем. С этой целью составляют выражение входного сопротивления для любой ветви цепи на переменном токе z(jw), заменяют в нем jw на p и приравнивают z(p) и нулю.

       Для схемы на рис.

        Jw=p и равен 0

       Уравнения полностью совпадают.

       Число корней характеристического уравнения = степени этого уравнения.

Уравнение 1 степени имеет всегда отрицательный действительный корень.

Уравнение 2 степени может иметь:

       а) 2 действит. неравных отрицат. корня;

       б) 2 действит. равных отрицат. корня;

       в) 2 комплексно сопр. корня с отрицат. действит. частью.

Уравнение 3 степени может иметь:

       а) 3 действит. неравных отрицат. корня;

       б) 3 действит. отрицат. корня, из которых 2 равны друг другу;

       в) 3 действит. равных отрицат. корня;

       г) 1 действит. отрицат. корень и 2 сопряж. с отрицат. действит. частью.

                   R₁=R'₁=R₃=50 Ом,     С=100 мкф,   Е=150 В.

        Требуется: 1) найти полные, принужденные и свободные составляющие токов и напряжения на конденсаторе j, 2) определить токи i₁, i₂,i₃ и напряжение U_c в фунции времени.

       До коммутации

       Напряжение на конденсаторе равнялось напряжению на сопротивлении R₃

       Принужденные значения после коммутации:

       По второму закону Кирхгофа составим уравнение для контура, образованного первой и второй ветвями при t=0₊

       Из уравнения

       По первому закону Кирхгофа

       Свободные составляющие найдем как разности между полными и принужденными составляющими.

    

       Характеристическое уравнение схемы

 имеет один корень

                                

                             Преобразование Лапласа.

       Переход от фунции времени и фунции p осуществляется с помощью преобразования Лапласа. Операторный метод расчета позвооляет свести операцию дифференцирования к умножения, а операцию интегрирования - к делению.

       Условимся под понимать комплексное число p=a+jb

       Фунцию времени обозначают f(t) и называют оригиналом. Ей соотвествует фунция F(p), называемая изображением.

      

         Выразим потенциал точки A через потенциал точки B.

Вместо                                        , вместо

        Применим преобразование Лапласа.

          где  

       Z(p) представляет собой операторное сопротивление участка цепи