Анализ ПП в цифровых системах управления. Оценка запаса устойчивости цифровых систем управления, страница 2

основан на том, что АФХ разомкнутой САР

W_раз(jw) = W_об(jw) W_р(jw)

должна касаться окружности с заданным значением  М.   

Радиус этой окружности  r = M ²/(M ²-1),  а ее центр лежит на отрицательной вещественной полуоси.

Определение настроек ПИ-регулятора

По АФХ объекта W_об(jw) строят АФХ разомкнутой САР при коэффициенте передачи пропорциональной части регулятора  К_р = 1 и нескольких значениях времени  изодрома T_и:

Для  построения АФХ разомкнутой системы  при К_р = 1 и при некотором значении Tи  нужно к каждому вектору АФХ ОР прибавить вектор с модулем D А = А_об/wT_и     (А_об -  модуль вектора АФХ объекта), повернутый на 90 0 по часовой стрелке.

Под углом b = arcsin (1/M) проводят луч и строят окружности с центрами на отрицательной вещественной полуоси.

Эти окружности должны касаться одновременно  луча и АФХ  W_раз(jw)  для разных значений T_и.   Значение коэффициента передачи К_р для каждого значения T_и определяют по формуле:

В плоскости параметров настройки К_р - T_и строят границу, на которой показатель колебательности  ПП равен заданному значению М.

Оптимальным настройкам соответствует точка с максимальным соотношением
К_р /T_и, получаемая в месте касания прямой, проходящей через начало координат.

Определение настроек П-регулятора

АФХ разомкнутой САР при  К_р = 1 совпадает с АФХ объекта, но безразмерна. Остальные построения аналогичны построениям при определении параметров настроек ПИ-регулятора.

Часто расчет ведут для   М = 1,62 (h » 34%).                             

Тогда

Определение настроек И-регулятора

АФХ разомкнутой САР при  К_р1 = 1

Остальные построения аналогичны.

Определение настроек ПИД-регулятора

По АФХ объекта W_об(jw) строят АФХ разомкнутой САР при коэффициенте передачи пропорциональной части регулятора  К_р = 1 , нескольких значениях времени  изодрома T_и и времени предварения T_п = 0,5 T_и:

Расчет по расширенным АФХ

Производят на заданное качество ПП, определяемого степенью колебательности m = a /w(в пределах 0,22 – 0,4).  

Расширенная АФХ получается из ПФ подстановкой  s = (j - m) w.  Для получения этих АФХ экспериментальным методом необходимо на вход ОР подавать периодические возмущения с затухающей амплитудой

или в показательной форме

Степень затуханияx =  (А_i - А_{i +1})/ А_iи показательmсвязаны  выражением

Обычноx = 0,75 - 0,9.

Для расчета настроек регулятора используют выражение, подобное критерию Найквиста

Откуда можно получить формулы для расчета регуляторов на заданное  m.

Для ПИ-регулятора

Расчет настроек ведут для нескольких значений частоты и в плоскости параметров К_р - T_и  строят линию равного значения  m. Оптимальные настройки находят также по [3, 8].

САР работоспособна, если она обеспечивает необходимое качество регулирования  и обладает устойчивостью. Устойчивость САР определяется на основе критериев устойчивости или путем моделирования.

Проверка на робастность

Зачастую параметры ОР определены с ошибкой или изменяются во времени. В этих условиях необходимо проверить рассчитанную САР на нечувствительность  (грубость, робастность [robustness]) к возможным вариациям параметров системы для наихудших условий - увеличению коэффициента передачи К_об и запаздывания t_об  ОР.

Для этого оценивают возможные отклонения параметров ОР, регулятора и проверяют САР с новыми параметрами на устойчивость известными методами.

Иногда устанавливают границы изменения различных параметров ОР и регулятора, при которых САР остается устойчивой, а ПП - отвечает заданным требованиям.

Оценка запаса устойчивости цифровых СУ

Производится с помощью корневого и частотного показателей колебательности известными из ТАУ методами.

Пример 3. Для СУ из примера 2 при     t_s / T_об = 2 и k_и K_об  =2.092  (степень затухания y = 0,9, частотный показатель колебательности М = 1,5475) выполним графические построения АФХ разомкнутой цифровой СУ.  

Под углом  g = arcsin (1/M) проведем луч из начала координат, а затем окружность, касающуюся одновременно АФХ и луча, с центром на вещественной оси.  Предельное значение коэффициента передачи регулятора равно

где  r- радиус окружности; k_р - значение коэффициента передачи регулятора, при котором построена АФХ (обычно выбирают k_р  = 1).

В данном случае:

 g = 40015’,    k_пр.р = 1,1095 k_р / r.

Из графика выше  r= 0,74.

Отсюда для И-регулятора

           k_пр.и = 1,1095 ·1/ 0,74 = 1,5.

В цифровых СУ можно выбрать ПФ регулятора так, чтобы Z- характеристическое уравнение замкнутой СУ имело вид

а все остальные коэффициенты от   d_{l -1} равнялись нулю. Тогда ПФ замкнутой СУ принимает вид конечного ряда

Такие СУ имеют бесконечно большую степень устойчивости, так как корни s-характеристического уравнения имеют бесконечно большую вещественную составляющую при z-корнях равных нулю. Они  позволяют осуществить ПП за конечное число интервалов квантования и называются СУ с конечным временем ПП. Возможен переход за 1 интервал квантования.