Составление плана производства, максимизирующего прибыль фирмы за рассматриваемый период

Задание 1. Фирма применяет n однопродуктовых технологий, которые используют m ресурсов. Технология jΠпри единичной интенсивности производит единицу продукта j и потребляет a_ij единиц ресурса i для каждого iÎ. В течение рассматриваемого периода фирма может использовать не более b_i единиц ресурса i. Известны рыночные цены продуктов и ресурсов: p_j для jΠи q_i для iÎ. Нужно найти план производства, максимизирующий прибыль фирмы за рассматриваемый период.

(а) Запишите математическую модель задачи.

(б) Решите задачу при следующих исходных данных: m = 5, n = 6,

Поиск решения ЦФ =>  max

Изменяя план пр-ва

Ограничения: левые части ≤ правые части огр,

Параметры: линейная модель, неотриц значения

ЦФ=112 095,42

(в) Запишите оптимальный план производства.

В оптимальный план вошли продукт 1, 2, 4

Первого продукта произвести 2106,43 единиц

Второго продукта произвести 846,85единиц

Четвертого продукта произвести 486,81 единиц

(г) Какое дополнительное количество ресурса 2 следует приобрести (по той же цене), чтобы получить прибыль примерно 115 000?

Мы увеличиваем правую часть второго ограничения, т.е., мы вместо вектора b используя вектор b+D, где D=

Если b+D Î ОПДО (ОПДО – это множество таких векторов b, для которых базис  сохраняется, двойственные оценки не изменяются)

При этом множество d при котором вектор b+D Î ОПДО указано в отчете по устойчивости (Допустимое уменьшение, Допустимое увеличение)

dÎ [-288,73; 281,65]

После расчета d необходимо проверить, что бы она попадала в эту область.

Если вектор правых частей измененных Î ОПДО, то

F(b) – оптимальное значение ЦФ

Прирост ЦФ – опт. знач. ЦФ = сумме произведения оценок на приросты правых частей:

F(b+D)-F(b)= Syi×di = y2 × d = 17,57× d= 115 000 – F

D2= 165,34

Поскольку D2 лежит в указанном диапазоне, то значение ЦФ при таком изменении будет равна примерно 115 000.

(д) Выгодно ли фирме продать некоторое количество ресурса 2 по цене 50?

Смотрим теневую цену: единица второго ресурса дает прибыль 17,57 пока вектор  правых частей остается в ОПДО каждая ед. второго ресурса дает такую прибыль. Продать ед. ресурса 2 значит потерять прибыль 17,57. Прибыль от продажи = разнице цен. Предлагается продать за 50, а цена ресурса 2 была 34

50-34=16,

А теневая цена 17,57 => не выгодно продавать. Т.к. потеряем больше, чем приобретем.

(е) На сколько процентов фирма может снизить цену продукта 4, сохраняя его оптимальный план?

Мы изменяем цену 4 продукта  => вектор с → с+D, где D есть вектор длины 6,

D = (0,0,0,d,0,0)

Если такое изменение не выводит вектор с из ОПОР, то оптимальный план менять не надо, он сохраняется. В каких границах должна меняться d указано в отчете по устойчивости.

С4=P4-Saij×qi = (10,419/124)×100% = 8,4%

На 8,4% процента фирма может снизить цену продукта 4, сохраняя его оптимальный план

Задание 2. Запишите задачу, двойственную к следующей задаче линейного программирования:

8x₁ -9x₂ + 3x₃ → max при условиях

6x₁ + 9x₂ - 4x₃ ≤ 16,  2x₁ - 7x₂ + 8x₃ = 12,  -9x₁ + 6x₂ + 2x₃ ≥ 20,  x₁ ≥ 0,   x₂ ≤ 0.

Задание 3. В таблице указаны участки железнодорожной сети (i, j) и затраты c_ij на транспортировку одного вагона между станциями i и j (независимо от направления). Стрелки в первой строке показывают возможные направления перевозок.

На станциях 3 и 4 находятся 61 вагон и 60 вагонов соответственно. Нужно отправить 93 вагона на станцию 5 и 28 вагонов на станцию 2.

(а) Запишите сетевые ограничения для вершин 1, 3 и 5.

Положительная интенсивность означает потребность

Отрицательная интенсивность означает наличие.

ввоз

 вывоз

ограничения: ввоз – вывоз.

Поиск решения.

ЦФ → min

Изменяя Хij

Ограничения: левые части ограничений (С40;G40) ≥ интенсивность (С35;G35)

32 везем по дуге X23

60 везем по дуге X42

93 везем по дуге X35

Затраты = 714

(б) Найдите минимальную стоимость перевозок и план, при котором она достигается.

Минимальную стоимость перевозок = 714

План:

X23 = 32

X42 = 60

X35 = 93

 (в) Нарисуйте схему оптимальных перевозок.

Задание 4. Дана матричная игра G = (A):

(строки соответствуют стратегиям игрока 1, столбцы — стратегиям игрока 2).

(а) Найдите максиминную чистую стратегию игрока 1 и минимаксную чистую стратегию игрока 2. Существует ли равновесие?

Анализируем игру в чистых стратегиях.

Для первого игрока:

Он выбирает минимум по строке, т.е. худший результат при каждой своей стратегии, и среди этих минимумов находит максимум => это (-1) – это maxmin, нижняя цена игры в чистых стратегиях и достигается она при стратегии a₂

Для второго игрока:

Он ищет максимальный проигрыш для каждой стратегии. Следовательно, минимум максимального проигрыша достигается в (1) – это верхняя цена игры. Достигается при стратегии b₂ второго игрока.

И эта пара стратегий a₂ b₂ это пара maxmin

Если они её выберут, то второй игрок проиграет (1), а первый игрок выиграет (1)

Второй игрок проиграет столько, сколько он и предполагал, а первый игрок получит результат лучше.

Существует ли равновесие?

Нет, не существует. Т.к. нижняя цена игры не равна верхней цене игры.

б) Найдите равновесие в смешанных стратегиях игры G. Укажите значение игры, оптимальные стратегии игроков, ожидаемые выигрыши игроков при оптимальных стратегиях.

Запишем задачу линейного программирования для определения смешанной стратегии в матричной игре

Смешанная стратегия первого игрока – Xi и соответствует строкам

Х= (Хi | iÎ 1,4)

Смешанная стратегия второго игрока – Yi и соответствует столбцам

Y = (Yj | jÎ 1,3)

- ожидаемый выигрыш первого игрока при условии, что второй игрок играет свою чистую стратегию с номером bj

V – это искомый maxmin

V→max

Sxi=1

xi≥0,

Поиск решения:

ЦФ → max

Изменяя: (Х1, Х2, Х3, Х4, V)

Ограничения: (огр1, огр2, огр3)≤0

                          Норм.=1

                          (Х1, Х2, Х3, Х4)≥0

Параметры: линейная модель, не отриц. значения отключаем.

Видим, что первый игрок должен использовать 1,2,4 стратегии с вероятностями 0,074; 0,798; 0,128 соответственно.

Для второго игрока теневые цены дают смешанную стратегию.

å=1

Значение игры = -0,085

Оптимальные стратегии игроков

Ожидаемые выигрыши игроков

Выигрыш первого игрока = - 0,085

Выигрыш второго игрока = + 0,085

ð первый игрок проигрывает меньше чем в чистых стратегиях, а второй игрок выигрывает больше.