Понятие числового ряда. Теорема (критерий Коши сходимости ряда). Необходимый признак сх-сти ряда

Понятие числового ряда

{a_n} – числ. посл. а₁+а₂+…+а_n+…

О. Выражение а1+а2+…+an+… обознач символом          и обычно наз рядом или бесконечным рядом(чтобы подчеркн отлич его от суммы конечн числа слаг.)

О. Сумму sn=Eⁿ_k=1ak наз частичной суммой ряда или, когда желают указ номер, n-ой част. суммой ряда.

О. Предел lim(n-беск)sn=s посл-ти частичных сумм, если он сущ., наз-ся суммой ряда.

О. Если посл. {s_n} част-ных сумм ряда сх-ся, то ряд наз сходящимся. Если посл. {sn} не им. предела, то ряд наз расходящимя.

О. Предел lim(n-беск)sn=s посл-ти част сумм, если он сущ, то ряд наз суммой ряда.

Теорема (критерий Коши сходимости ряда). _Ряд a1+…+an+… сх-ся тогда и т.т., когда для люб Е>0 найд. такое число N(-N, что из m>?=?n>N след |an + … + am|<E

{=> Предп, что {sn} сх-ся => для люб. Е>0 сущ. N(-N: для люб m>n>N |E^m_k=nak|<E sm=E^m_k=1ak   sn=Eⁿ_k=1ak  sm-sn=E^m_k=nak  => | E^m_k=nak |<E в обр. сторону аналог.}

Необходимый признак сх-сти ряда

Для того, чтобы ряд а1+…+an+… сх-лся, необходимо, чтобы его члены стремились к нулю при n стрем к беск., т.е. необход lim(n-беск)an=0

{a_n=s_n-s_n-1 и, коль скоро lim(n-беск)s_n=s, им lim(n-беск)an= lim(n-беск)(s_n-s_n-1)= lim(n-беск)sn - lim(n-беск)s_n-1=s-s=0.}

О. Ряд        наз абсолютно сх-мся, если сх-ся ряд Е^беск_n=1|a_n|.

Поскольку |an+…+am|<=|an|+…+|am|, из крит Коши следует, что если ряд сх-ся абс-тно, то он сх-ся.(обратно не канает)

Теорема(критер сх-сти рядов с неотр. членами). Ряд а1+…+аn+…, члены которого – неотр. числа, сх-ся тогда и т.т., когда посл-сть его част-ных сумм огр. сверху.

{Это след из опр сх-сти ряда и Крит сх-сти неубыв. посл, каковой в данном случ. явл. посл-сть s1<=s2<=…<=sn<=… част. сумм нашего ряда.}

Теорема (сравнения). Пусть Е^беск_n=1an, E^беск_n=1bn – два ряда с неотр. членами. Если сущ номер N(-N такой, что при люб. n>N им. место нер-во an<=bn, то из сх-сти ряда Е^беск_n=1bn вытекает сх-сть ряда Е^беск_n=1an, а из расх-сти Е^беск_n=1an вытек. расх-сть ряда Е^беск_n=1bn.

{Поскольку кон. число членов не влияет на сх-сть ряда, можно без огранич. общности считать, что an<=bn для люб. n(-N. Тогда A_n=Eⁿ_k=1ak<=Eⁿ_k=1bk=B_n. Если ряд Е^беск_n=1bn сх-ся, то посл-сть {B_n}, не убывая, стрем к пред В. Тогда An<=Bn<=B при люб. n(-N и, след, посл-сть {Аn} частичных сумм ряда Е^беск_n=1an ограничена. В силу критер. сх-сти ряда с неотр. членами (теор о критер сх рядов с неотр чл.) ряд Е^беск_n=1аn сх-ся.

Второе утв. теоремы, рассужд от противн, немедл получ из уже док-ного}

Следствие1 (мажорантный признак Вейерштрасса абс. сх-сти ряда). Пусть Е^беск_n=1anb Е^беск_n=1bn – два ряда. Пусть сущ номер N(-N такой, что при люб. n>N им. место соотнош. |a_n|<=b_n. При этих усл. для абс. сх-сти ряда Е^беск_n=1an достат, чтобы ряд Е^беск_n=1bn сходился.

{Действ, по теор сравнения тогда ряд Е^беск_n=1|an| будет сх-ся, что и означ абс. сх-сть ряда Е^беск_n=1an.} Кратко: если члены ряда (по абс. величине) мажорируются членами сх-гося ряда, то исх. ряд сх-тся абс.

Следствие2 (признак Коши). Пусть Е^беск_n=1an – данный ряд и alfa=^----lim(n-беск)кор n-ой степ. из |an|. Тогда справедлив след утвержд:

a)  Если alfa<1, то ряд Е^беск_n=1an, абс-тно сх-ся.

b)  Если alfa>1, то ряд Е^беск_n=1an расх-ся

c)  Существуют как абс-тно сх-ся, так и расх-ся ряды, для кот alfa=1

{а) Если alfa<1, то можно выбр. число q(-R так, что alfa<q<1. Фиксировав число q, в соотв-ии с опр-ем верхнего пред. найдем номер N(-N такой, что при n>N вып (корень n-ой степени из)|an|<q. Т.о., при n>N будем иметь |an|<q^n и, поскольку ряд Е^беск_n=1q^n при |q|<1 сх-ся,  ряд Е^беск_n=1an (по т. сравнения или призн. Вейерштр.) сх-ся абсолютно.

b) Поскольку alfa явл частичным пред. посл-сти {an}(см утв1(нижн и верхн пр огр…)), то найд-ся подпосл. {ank} такая, что lim(k-беск)(корень n k-ой из)ank=alfa. Если alfa>1, то найд-ся номер K(-N такой, что при люб k>K будет |ank|>1, тем самым необход усл сх-сти (an --> 0) для ряда Е^беск_n=1an не вып. и он расх-ся.

с) Мы уже знаем, что ряд Е^беск_n=11/n расх, а ряд Е^беск_n=11/n² сх-ся (абсолютно, т.к. |1/n:2|=1/n^2). Вместе с тем ^---lim(n-беск)(кор n-ой)1/n=lim(n-беск)1/кор n-ой из n=1 и ^---lim(n-беск)(кор n-ой)1/n^2=lim(n-беск)(кор n-ой из)1/n^2=lim(n-беск)( 1/кор n-ой из n)^2=1.}

Следствие3(признак Даламбера). Пусть для ряда Е^беск_n=1an сущ предел lim(n-беск)|an+1/an|=alfa. Тогда справедливы след утв:

а) Если alfa<1, то ряд сх-ся абс.

b) Если alfa>1, то ряд расх-ся

с) Сущ как абс сх-ся, так и расх-ся ряды, для которых alfa=1.

{a) Если alfa>1, то найд-ся такое число q, что alfa<q<1; фиксировав q и учит. св-ва пред, найдем номер N(-N такой, что при люб n>N будет |an+1/an|<q. Поскольку кон. число членов влияет на хар-р сх-сти ряда без огр. общности будем считать, что |an+1/an|<q при люб n(-N. Поскольку |an+1/an|*|an/an-1|*…*|a2/a1|=|an+1/a1|, мы получ, что |an+1|<=|a1|*q^n. Но ряд E^беск_n=1|a1|q^n сх-ся (его сумма, очевидно, равна |a1|/(1-q)), поэт ряд E^беск_n=1an абс. сх-ся.

b) Если alfa>1, то, нач с нек. номера N(-N, при люб n>N будем иметь |an+1/an|>1,т.е. |an|<|an+1|, и, след-но, для ряда E^беск_n=1an не вып усл. anà0, необх. для сх-сти.

с) Примерами в данном случ., как и в призн Коши, могут служить те же ряды.}

Утверждение2 (Коши) Если а1>=a2>=…>=0, то ряд E^беск_n=1an сх-ся тогда и т.т., когда сх-ся ряд E^беск_n=12^k*a_2^k=a1+2*a2+4a4+…

{Поскольку а2<=a2<=a1,  2a4<=a3+a4<=2a2,  …  2^n*a_2^(n+1)<=a_2^n+1 + … +a_2^(n+1)<=2^n*a_2^n, то склад эт нер-ва получ:  ½(S_n+1-a1)<=A_2^(n+1) – a1<=S_n, где Аk=a1+…+ak, Sn=a1+2a2+…+2^na2^n – част суммы рассматр-ых рядов. Посл-сти {Ak} и {Sn} неубыв, и потому из получ нер-в можно закл, что они либо одновр. огранич, либо одновр не огранич сверху. Но по Крит сх-сти рядов с неотриц членами отсюда след, что рассматр. 2 ряда действ. сх-ся или расх-ся одновр.}

Следствие. _Ряд E^беск_n=1|1/n^p сх-ся при р>1 и расх-ся при р<=1

ПризнакРаабе Пусть E^беск_n=1an – рядснеотрчленамисущ lim(n-беск)n(1-an+1/an)=beta

a) beta>1 àрядсх-ся.

b) beta<1 àрядрасх

О. Если ряд сх-ся, но не абс., то говорят, что он сх-ся условно.

Знакопер. ряды

О. {an} – посл. полож чисел. E^беск_n=1(-1)^n-1*an – знакопер. ряд.

Теорема (Лейбница). Если посл {an} невозр и lim(n-беск)an=0, то ряд E^беск_n=1(-1)^n-1*an – сх-ся

{Ak= E^беск_n=1(-1)^n-1*an/   Рассм A2k=(a1-a2)+(a3-a4)+a5-…-a2k(кажд ск-ка >=0)  => A2k>=0 для люб k(-N  A2k<=A2(k+1) для люб k(-N

}

Признак Дирихле: Ряд E^беск_n=1an*bn сх-ся, если частичн. суммы Bn ряда огранич., т.е. сущ M>0 lля люб n(-N: |Bn|<M, а посл. (an) монот. стрем к 0

Признак Абеля: Ряд E^беск_n=1an*bn сх-ся, если (an) – монот. и огр. посл-сть, а ряд E^беск_n=1bn сх-ся.