Ответы на вопросы № 1-83 к экзамену по дисциплине "Математический анализ" (Операции над множествами (объединение, пересечение, разность, дополнение). Интегрирование простейших дробно-рациональных функций - нахождение интегралов)

№1 Операции над множествами (объединение, пересечение, разность, дополнение).

Опр. Множество – это набор элементом, составляющих это множество/из которых оно состоит.

хА- х принадлежит множеству А. Аx – множество А содержит элемент х.

Рассмотрим операции, которые можно производить над множеством:

Объединение. хАВ)[( х A)или(х B)]

Пересечение.  хАВ)[( х A)и(х B)]

Разность. А\В={х:хнеВ} или х А\В↔[( х(хнеВ)]

Дополнение. Пусть ВсА, тогда С_ав - дополнение ко множеству В до А.

А=В↔(АсВ)и(ВсА).

Множества бывают конечные и бесконечные. Множество М – конечное, если оно, либо пусто, либо может быть занумеровано не более чем n (n∈N) числами. В противном случае, М – бесконечное множество. Бесконечное множество М называется счетным, если существует взаимно однозначное отображение множества М на N.В противном случае множество М – несчетное.

№2 Принцип математической индукции. Неравенство Бернулли. Формула бинома Ньютона.

Принцип математической индукции. Пусть А(n) – зависящее от nN утверждение. Если доказано, что а) А(1) выполняется; б)при условии, что А(n) справедливо для некоторого n, верно также А(n+1) (шаг индукции), то А(n) – справедливо n∈N.

Неравенство Бернулли:

(1+a)ⁿ > 1 + na, a > 0; основание индукции (1 +a)² = 1 + 2a+ a² > 1+ 2a; индуктивный переход:  ( 1+a)ⁿ⁺¹ =  ( 1+a)ⁿ ( 1+a) > ( 1+na) ( 1+a) = 1 + ( n+1)a + a² > 1+ (n+1)a. Чтд

Бином Ньютона:

№3 Действительное (вещественное) число как бесконечная десятичная дробь. Порядок в множестве R-действительных чисел.

Десятичная дробь бывает – конечная и бесконечная. Конечная десятичная дробь – десятичная дробь , у которой с определенного места после запятой идут одни нули. В противном случае – дробь бесконечная.

ОПР. R-числа Пусть а∈Q, а>0,a=. Пусть α₀ – целая часть числа а. (α₀ ≪а)и (а< α₀ +1)Пусть ∝₁- первый знак после запятой числа а. α₂ – второй знак после запятой числа  а.  Продолжая так, в итоге определиться бесконечная последовательность знаков после запятой числа  а или бесконечная десятичная дробь, которая называется десятичным представлением числа а.

α₀, α₁≪а< α₀, α₁ + 0,1

α₀, α₁, α₂≪а< α₀, α₁, α₂ + 0,01

…………………………………………….

α₀, α₁, α₂……. α_n≪а< α₀, α₁, α₂……. α_n + 10^-n

№4 Определение операций на множестве R. Свойства операций (без доказательств)

Сложение

π = 3, 14926; e = 2, 718

5 = 3+2 < e+ π < 3+4 = 7

5,8 = 2,7 + 3,1 < e+ π < 2,8 +3,6 = 6

5,85 = 2,71 + 3,14< e+ π < 2,72 + 3,15 = 5,87

 Мы таким способом показывали сложение двух чисел с разной точностью, поэтому пусть a+b€ [a(n) + b(n); a’(n) + b’(n)]

Свойства:

A+b = b+a –комбинаторное

( a+b) +с = a + ( b + c) – ассоциативное

А + 0 = а – свойство существования нуля.

а + ( - а) = 0 – свойство выполняется при отсутствии у числа а хвоста из 9

Умножение

а*b = b*a

(а*b)*c = а*(b*c)

A*1= a

Cсуществует а^-1 такое что а * а^-1 =1

Дистрибутивность: ( a + b)*c = a*c + b*c

№13 Теорема о зажимающих последовательностях

Теорема. Пусть ∃{a_n},{b_n},{c_n}, причем  и   и .Тогда

Док-во:

Возьмем произвольное.

Тогда   и

Выберем и получим

что и означает что .↓

№5 Ограниченные числовые множества. Определение верхней и нижней граней числовых множеств. Доказательство теоремы о ∃верхней грани ограниченного сверху числового множества, доказательство теоремы о ∃нижней грани ограниченного снизу числового множества.

Множество А⊂R ограниченно, если оно ограниченно сверху и снизу.

Множество А⊂R ограниченный сверху (снизу), если ∃ такое вещественное число х_М (х_m). Что для всех чисел а∈А выполняется условие: а≪х_M (a≫x_m).

ОПР. Число х_M (x_m) – точная верхняя (нижняя) грань множества А( supA, infA), если:

1)для ∀а∈А имеет место а≪х_M (а≫х_m).

2)если х¹<x_M (x_m< х¹), то ∃а¹∈А: а¹> х¹ (а¹<х¹).

Теорема. Пусть А- непустое подмножество множества R. Тогда, если А ограничено сверху, то ∃точная верхняя грань supA множества А. Если А ограничено снизу, то ∃ точная нижняя грань infA множества А.

Док-во (для supA, для infA – аналогично).

Для простоты положим что мн-во А содержит неотрицательные числа.

Т.к. мн-во А ограничено сверху и содержит неотрицательные числа, то ∃ такое целое n0>0, что а) для ∀ а∈А выполняется неравенство а< n0 +1. б)∃а1: а1≫ n0.

Полуинтервал [n0, n0+1) делим на 10 равных частей точками n0, 1; n0,2;…..; n0,9.

Выбираем число n1 (0≪ n1≪9): а)∀а∈А имеет место а<n0, n1+10-1.б)∃а1∈А: а1≫ n0, n1.

Полуинтервал [n0, n1; n0, n1+10-1) снова делим на 10 равных частей точками n0, n11; n0, n1,2;….; n0, n19.

Выбираем  число n2 (0≪ n2≪9): а)∀а∈А имеет место а<n0, n1 n2+10-2.б)∃а1∈А: а1≫ n0, n1 n2.

Продолжая последовательно делить получающиеся полуинтервалы, придем к выводу что, ∀к=1,2,….∃nk (0≪ nk≪9) имеет место: а) )∀а∈А иметь место равенство а< n0, n1….. nk+10-k, б) )∃а1∈А: а1≫ n0, n1…. nk.

Рассмотрим вещественное число х= n0, n1…. nk…… и покажем, что х=supA. Для этого достаточно показать что а) )∀а∈А: а≪х. б)если х1<х, то ∃а1∈А: а1>х1.

Предположим что а) неверно, тогда ∃а∈А: а>х. Т.к. а>х, то ∃ к- значное нижнее приближение а_k числа а, что а_k>х_k^----( х_k^----   - к-$значное верхнее приближение а_k  числа х) и а≫а_к> х_k^----=n₀, n₁….. n_k+10^-k. Однако последнее неравенство противоречит а) =>а) доказано.

Путь х¹>х, тогда ∃к: х_к>: х_к¹. По построению числа х ∃а¹∈А: а¹≫х_к.. Итак, а^1≫ х_к> х_к^----1≫ х¹ и а¹>х¹. Т.О. второе утверждение так же имеет место .↓

№9 Предикат – высказывательная функция. Существуют некоторые математические индивиды, между которыми возникают связи, некоторые отношения, которые представляют собой функцию, который мы называем предикат. Использование только элементарных формул не дает возможности сформулировать на математическом языке некоторые теоремы, для этого вводят понятие квантора.

Обычно ограничиваются квантором всеобщности(перевернутая А) и квантором существования( это развернутая Е). Предписывание к предикатной формуле кванторов называется операцией навешивания кванторов.

Квантор – символ математической логики; логическая операция, дающая качественную характеристику области предметов, к которым относится выражение, получаемое в результате ее применения.

Предикат – логическое сказуемое, то что говорится о предмете высказывания

№6  Функции. Способы их задания. График функции. Обратимые функции. График обратной функции. Простейшие преобразования графиков функции.

Говорят что задано отображение из множества  А в множество В (φ:А→В), если указан закон, в силу которого некоторым элементам мн-ва А поставлены в соответствие элементы мн-ва В, при этом каждому элементу А соответствует не более одного элемента мн-ва В.

Функция – это произвольное отображение f:R→R.

Способы задания функций: аналитический (написать формулу y=f(x)),неявно F(x,y)=0,параметрически (х=х(е); y=y(t) ). графический или указать закон сопоставления элементов мн-ва А элементам мн-ва В.

График функции – это множество точек с координатами (х, f(x)).

Обратимые функции – это функции, имеющие обратные к ним функции.

Если f- взаимно однозначная функция, то обратное к f отображение g также однозначно, т.е. тоже является функцией. Обратное отображение g  соответствующее взаимно однозначному отображению , такому что D(f)⊂R,E(f)⊂R, называется обратной функцией. Для того чтобы из функции y=f(x) получить обратную функцию g, необходимо решить уравнение y=f(x) относительно х и (в том случае, если в дальнейшем независимое переменное будет обозначаться посредством х) поменять переменные х и у местами. При том графиком обратной функции g является график функции f, зеркально отраженный относительно прямой у=х. Изменения функции: (x,y)→ ( x – a;y) -  происходит параллельный перенос вдоль оси Ox на а. x→ kf(x) (x,y) → ( x; ky) – происходит растяжение графика x→ f(kx+b) (x,y) → ( x/k; y)- происходит сжатие вдоль оси Ox

7. Высказывания – утвердительное предложение про которое можно сказать истинно оно или ложно.

 P&q –конъюнкция, можно сравнить с пресечением на множестве

Pvq – дизъюнкция, можно сравнить с объединением на множестве

p↔q – эквиваленция, два высказывания эквивалентны, когда их значения совпадают при всех значениях входящих туда высказываний.

В билете не забыть рассказать таблицу истинности.

8.Тавтология – это тождественное истинное  высказывание.

А <=>В - тавтология; тогда и только тогда, когда А ≈ В

Законы логического вывода:

1)Если А и А => В тавтологии, то В – тоже тавтология

2)Принцип дедукции р => (q =>p)

Если для определенных значений А истинно, и при этих значениях В истинно, тогда А=> В истинно при этих же значениях

№23 теорема о единственности предела ф-ции в точке.

Если ф-ция f(x) имеет предел , то этот предел единственен.

Док-во

Рассуждаем от противного. Пусть у ф-ции y=f(x) ∃два различных предела b и  b¹ (b≠b¹). Пусть {x_n}⊂X (x_n≠a) – последовательность, сходящаяся к а. В силу определения предела ф-ции по Гейне соотвтствующая последовательность значений аргумента ф-ции {f(x_n)} должна, с одной стороны сходиться к b, с другой к b¹, что невозможно, поскольку числовая последовательность может иметь только один предел. ↓

№10 определение числовой последовательности. Предел последовательности. Примеры сходящихся и расходящийся  последовательностей.

Числовая последовательность – произвольное отображение множества N в R. F:N→R. (n,y_n) называется элементом последовательности y_n. Способы записи последовательностей: y=N→К или { y_n }.

По Гейне.

Число а называется пределом { y_n } при n→∞, если в каждой осевой полосе с осевой линией y=a лежат все элементы последовательности, кроме, может быть, конечного их числа. Пишется а=

По Коши.  а=↔∀𝜀>0 ∃N_𝜀 :для n> N_𝜀 =>| y_n –a|<𝜀

№11 Теоремы о единственности предела и об ограниченности сходящейся последовательности.

Теорема о единственности предела

{ х_n } не может одновременно стремиться к двум конечным пределам.

Док-во (от противного).

Способ 1

Пусть одновременно х_n→a и х_n→b, причем a<b (для опрееленности)

Выберем r: a<r<b (это можно сделать в силу Т. О плотности Q и I чисел: между двумя вещественными числами можно вставить как  рациональное, так и иррациональное число)

Т.к. х_n→a и a<r, то ∃N¹: для n>N¹ будет выполняться неравенство х_n<r

Т.к. х_n→b и r<b, то ∃N²: для n>N² будет выполняться неравенство х_n>r

Возьмем n=max(N¹; N²), тогда х_n будет одновременно и больше и меньше r, что невозможно. Зн.,наше предположение не верно и следовательно { х_n }имеет один предел. 

Способ 2

Пусть =а и =b.

Запишем определение предела по Коши для a и b: а=↔∀𝜀>0 ∃N¹_𝜀 :для n> N¹_𝜀 =>| y_n –a|<𝜀

b=↔∀𝜀>0 ∃N²_𝜀 :для n> N²_𝜀 =>| y_n –b|<𝜀

Выберем n>max(N¹_𝜀; N²_𝜀)

Тогда /b-a/<2ε

Предположим что /b-a/>0.

Пусть ε=, тогда /b-a/<2ε=

Получили противоречие.

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности

Сходящаяся последовательность ограничена

Док-во

Пусть {x_n} – сходящаяся последовательность, а х – ее предел.

Выбираем ε>0 произвольно.

В силу определения предела последовательности ∃N_ε :∀n> N_{ε имеет} место неравенство /х_n-x/<ε, откуда следует что при n> N_ε │x_n│≪│x│+│x_n-x│<│x│+ε.

Положим М=max{│x│+ε, │x₁│,│x₂│,…..,│x_n│}

Очевидно что при всех n │x_n│≪M, таким образом последовательность │x_n│ ограничена.↓

№12  Теоремы, связывающие переход к пределу для последовательностей и неравенства.

Теорема (о предельном переходе в неравенстве)

Пусть ∃{а_n},{b_n}: .∃ , и они конечны. Тогда 

Док-во (от противного)

Пусть , возьмем ,

Для    

Для   

Возьмем , т.е. , , т.е. , что противоречит условию.↓

Теорема (о предельном переходе в равенстве) следует из единственности предела

№15 Произведение ограниченной последовательности х_n на бесконечно малую α_n есть величина бесконечно малая.

Док-во

Пусть для всех значений n: m≤x_n≤M.

Пусть L- наибольшая из абсолютных величин |m|,|M|, тогда -L≤m≤x_n≤M≤L или |x_n|≤L.

Если задано произвольное число ε>0, то по числу ε/L для бесконечно малой  α_n найдется такой номер N: n>N будет  |α_n|< ε/L или ∃N: ∀n (n>N=>| α_n|< ε/L).

Тогда для тех же значений n, очевидно |x_n*α_n|=|x_n|*| α_n |<L* ε/L=ε.

Отсюда следует, что x_n*α_n есть бесконечно малая.

№14 Леммы о бесконечно малых последовательностях.

Опр. Б.м. последовательности – сходящиеся к нулю (Lim=0)

∀ε>0 ∃N: ∀n (n>N=>│x_n-0│=│x_n│<ε) Ex.  x_n = - 1/n.

Лемма 1 Сумма любого конечного числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая

Док-во

Возьмем произвольное ε>0

Согласно определению б.м. по числу ε/2 для б.м. α_n ∃N¹ :∀n (n>N¹ |α_n|<ε/2.

Согласно определению б.м. по числу ε/2 для б.м. β_n∃N² :∀n (n>N² |β_n|<ε/2.

Возьмем натуральное число N большим обеих чисел N¹ N², то тогда при n>N одновременно выполняются оба неравенства так что |α_n+β_n|≪| α_n |+| β_n |<ε/2+ ε/2= ε

Отсюда видно что величина α_n+β_n  - также является б.м.↓

№16 Теоремы об арифметике пределов последовательностей

Теорема. Если {x_n},{y_n} имеют конечные пределы: lim x_n=a, lim y_n=b, то и сумма (разность) их так же имеет конечный предел, причем lim(x_n+ y_n)=a+b.

Док-во.

Из условия теоремы следует что x_n=a+α_n , y_n=b+β_n, где α_n, β_n  - б.м.

Тогда x_{n ±}y_n = (a±b)+( α_n±β_n  ), где по лемме о бесконечно малых (α_n±β_n)-б.м., поэтому можно утверждать что величина   (x_{n ±}y_n) имеет предел, равный a±b↓

Теорема. Если {x_n},{y_n} имеют конечные пределы: lim x_n=a, lim y_n=b, то и произведение их также имеет конечный предел, причем lim(x_ny_n)=ab

Док-во

Т.к. x_n=a+α_n , y_n=b+β_n, то x_ny_n=ab + (a β_n + α_nb+ α_n β_n), где последняя скобка в силу леммы о б.м. является величиной б.м. => x_ny_n→ab.

Теорема. Если {x_n},{y_n} имеют конечные пределы: lim x_n=a, lim y_n=b, причем b≠0, то и их частное также имеет конечный предел.

Док-во.

Пусть b>0, между 0 и b найдется число r (в силу Т. О плотности Q и I чисел: между двумя вещественными числами можно вставить как  рациональное, так и иррациональное число)

Тогда, начиная с некоторого номера N, y_n>r>0, так что во всяком случае  y_n≠0.

Ограничимся теми значениями  n, для которых  вышесказанное выполняется, тогда отношение x_n/y_n заведомо имеет смыл.

Т.к. x_n=a+α_n , y_n=b+β_n, то x_n/ y_n – a/b= – a/b= *(b α_n - a β_n), где последняя скобка есть б.м. по лемме о бесконечно малых.

Множитель   - величина ограниченная: 0<<

Поэтому, по лемме о бесконечно малых все произведение в правой части уравнения будет б.м.

А т.к. оно представляет разность м/у x_n/ y_n и числом a/b, поэтому lim (x_n/ y_n)=a/b  ↓.

№17  Ограниченные последовательности. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности.

Монотонная ограниченная последовательность сходиться.

Док-во.

Предположим, что последовательность {x_n}не убывает, т.е. x_n+1≫x_n (n=1,2,….) (в случае невозрастающей последовательности рассмотрим последовательность {-x_n}, которая очевидно неубывает).

По условию теоремы последовательность {x_n} ограничена.

Значит множество А ее значений ограничено.

В силу теоремы о существовании supA, infA( Пусть А – непустое подмножество множества R. Тогда, если А ограничено сверху, то ∃ точная верхняя грань, если  А ограничена снизу, то ∃ точная нижняя грань множества А) ∃ точная верхняя грань множества А.

Пусть supA=x

Поскольку х – точная верхняя грань множества А, то x_n≪x при всех n= 1,2,….., и какого бы ни было ε>0 ∃ х_N∈A: x-ε< х_N≤x.

В силу монотонности последовательности {x_n} : х-ε<x_nx при n>N

Следовательно, последовательность {x_n} сходиться и =x  ↓.

№18  Теорема о выборе сходящейся подпоследовательности из ограниченной последовательности (Теорема Больцана-Вейерштрасса)

Из всякой ограниченной последовательности  можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Док-во.

по условию имеем, что найдется с>0 такое, что  для всех n/ Разделим отрезок I₀=[-c,c] пополам. Один из получившихся отрезков содержит бесконечное число последовательности. Назовем его I₁ и в качестве 1-ого члена в искомой подпоследовательности возьмем какой-либо элемент  , т.е. положим . Затем отрезок I₁ снова разобьем на два и обозначим через I₂ ту его половину, которая содержит бесконечно много членов последовательности . Среди них выберем такой член , номер которого n₂ превосходит число n_1, и положим  . Повторяя описанную процедуру применительно к отрезку I₂, получим отрезок  и член с условием n₃>n₂. Далее таким же образом найдем , и т.д. В результате  мы получим числовую последовательность  и последовательность вложенных отрезков , причем  при всех . Другими словами,  будет подпоследовательностью для .

Теперь докажем, что  сходится. Для этого заметим, что длина отрезка  равна , откуда при . Это значит, что последовательность вложенных отрезков  стягивается и все отрезки  имеют единственную общую точку . Именно это число  и будет пределом для . Действительно, если  то . Но так как при , то и , откуда . И так как , то  при , что и требовалось доказать. ↓

№19 Критерий Коши сходимости последовательности

Для того чтобы последовательность  сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Док-во.

Необходимость. если , то для любого  существует , такое, что для всякого  имеем .

Следовательно, для любых  

.

Поэтому  - фундаментальная последовательность.

Достаточность. По условию последовательность  является фундаментальной.

1. Докажем, что  ограничена. В самом деле, возьмем =1. Тогда найдется n₀=n₀(1) такое, что для всех  имеем . Но тогда  . Отсюда .

2.  В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность  при . Условие её сходимости можно записать так:   такое что  имеем . Пусть  и . Тогда  для всех n>N и n_k>N имеем  , т.е. последовательность  сходится. ↓

№20 Вычисление пределов (qⁿ),(), (),(). x_n=qⁿ

→∞ 1) α>0, x_n=1+ α_n→+∞: для любого Ε: 1+ α_n> Ε => n>(E-1)/α => N=[(E-1)/α]+1.

        2) q>1, x_n=qⁿ→∞: q=1+α, где α>0: qⁿ=(1+α)ⁿ≥1+ α_n (lim1+α_n→∞)

→0 1) q<1. Если q=0, то очевидно. Если 0<|q|<1, то (1/q)>1, (1/q)ⁿ→+∞ =>qⁿ=1/1/qⁿ→0.

№22 Два определения предела ф-ции в точке и их ↔.

По Гейне.

Число  b call  пределом (или предельным значением) ф-ции y=f(x) в т.а (или при х→а), если для ∀последовательности значений аргумента x₁,х₂,…. сходящейся к а и состоящей из  x_n членов, отличных от а, соответствующая последовательность значений ф-ции f(x₁),f(х₂),….f(x_n),… сходиться к числу b.

По Коши.

↔ т.ч.
Лемма: определение предела функция по Гейне и Коши эквивалентны.

Док-во

1) Пусть  имеет предел  по Коши , т.е. т.ч. . Рассмотри произвольную последовательность . Надо доказать, что :  начиная с  все элементы  будут в окрестности (это из опр. по Коши) по Гейне, ч.т.д.

2) Пусть существует определение по Гейне, т.е. , т.е. имеет при  по Гейне. Надо доказать, что предположим, что это высказывание верно: . Возьмем , где . Т.е. . Т.е. мы получаем последовательность ,   - это противоречие опр. по Гейне, нашлась последовательность, которая не сходится к А противоречие определение по Коши вытекает. ↓

№21 Число е.

Рассмотрим  выр-е (1+1/n)ⁿ, где n-натуральное. Оказывается, что посл-ть монотонно возр-ет, ограничена сверху и явл-ся сходящейся, ее предел наз-ся экспонентой и  »2,7128…

Док-ем, что последовательность (1+1/n)ⁿ  (n=1,2,…) стремится к конечному пределу, заключенному между 2 и 3.

Пользуясь биномом Ньютона имеем: (1+1/n)ⁿ=1+n(1/n)+((n(n-1))/1*2)*(1/n)²+((n(n-1)(n-2))/1*2*3)* (1/n)³+…+((n(n-1)…[n-(n-1)])/1*2*3…*n)*(1/n)ⁿ.      Или:

(1+1/n)ⁿ=2+(1/2)(1-1/n)+(1/2*3)(1-1/n)(1-2/n)+…+(1/2*3…n)(1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-1)/n). (1)

При n>1 все слагаемые в (1) положительны, причем с возрастанием n увеличивается число слагаемых и их величина. => последовательность растет с показателем n.

С другой стороны, если все множители знаменателей заменить на двойки, а каждую скобку заменить единицей => (1+1/n)ⁿ <2+1/2+1/2²+…+1/2^n-1. По формуле суммы геометрической прогрессии 1/2+1/2²+…+1/2^n-1=(1/2-1/2²)/(1-1/2)=1-1/2^n-1<1. Откуда: (1+1/n)ⁿ<3

Т.о. существует конечный предел этой последовательности принадлежащий отрезку [2,3], чтд.

№24 Теорема о переходе к пределу в неравенствах м/у ф-ми. Локальное знакопостоянство ф-ии, имеющий ненулевой предел.

Теорема о переходе к пределу в неравенстве

Если для двух переменных x_n, y_n всегда выполняется неравенство x_n ≥ y_n, причем каждая их них имеет конечный предел: limx_n=a, limy_n=b, то и a≥b.

Допустим противное: пусть a<b. Возьмем число r между a и b, так что a<r<b. Тогда, содной стороны, найдется такой номер N′, что для n>N′ будет x_n<r, с другой же – найдется и такой номер N″, что для

n> N″ окажется y_n>r. Если N больше обоих чисел N′, N″, то для номеров n>N будут одновременно выполнятся оба неравенства x_n<r, y_n>r, откуда x_n<y_n, что противоречит предположению. Теорема доказана

Теорема. Если при х→Афункция f(x) имеет конечный положительный (отрицательный) предел,то и сама функция положительна (отрицательна), по крайней мере для значений х, достаточно близких к А, но отличных от А.

№25 Арифметика пределов ф-ции.

 Пусть f(x) и g(x) – ф-ции с общей областью определения Х, и пусть ∃ пределы  и . Тогда ∃ пределы (при х→а) ф-ций f(x)±g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x), в последнем случае полагается что g(x)≠0 при х∈Х и с≠0. При этом имеют место равенства:

Док-во.

Пусть {x_n}⊂X (x_n≠a) – произвольная последовательность, сходящаяся к а.

В силу определения предела ф-ции по Гейне соответствующие   последовательности {f(x_n);g(x_n)}сходятся соответственно к b и c.

В силу теоремы (об арифметике пределов последовательностей) последовательности {f(x_n)±g(x_n)}, {f(x_n)g(x_n)}, {f(x_n)/g(x_n)} сходятся соответственно к числам b±c,bc,b/c.

Эти числа в силу определения предела ф-ции по Гейне чвляются пределами ф-ций f(x)±g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x) при х→а. ↓

№26 Предел слева, предел справа, их равенство.

Пусть ф-ция y=f(x) определена при x₀<x<a (a<x<x₀).

Опр. Число b называется правым (левым) пределом ф-ции f(x) при х→х₀, если  ∀ε>0 ∃δ=δ_ε>0 : ∀x∈(x₀,а) (х∈(а,х₀)), удовлетворяющих условиям 0<x-x₀< δ_ε  (0<x₀-x< δ_ε ) выполнено неравенство |f(x)-b|<ε.

Теорема Ф-ция f(x) , определенная на открытом промежутке Р. Имеет предел  (x₀∈P) ↔ когда ∃ правый и левый пределы и они равны.

Док-во

Если ф-ция f(x) имеет предел , то согласно определению это b будет как правым, так и левым пределом ф-ции f(x) при x→x₀.

Пусть теперь ∃ равные друг другу правый и левый пределы, общее значение которых  обозначим как b.

Согласно определению правого и левого пределов по заданному ε>0 найдутся такие δ₁>0 и δ₂>0, что при 0<x-x₀< δ₁  или 0<x₀-х< δ₁ выполняется неравенство  |f(x)-b|<ε.

Выбирая δ=min{ δ₁, δ₂}, получим что при 0<|x-x₀|<δ имеет место равенство |f(x)-b|<ε. Это означает, что   ↓

№27  ББФ. Пределы ф-ций при х→∞

Определение. =∞

Определение. =A

Определение. =∞

Определение. =A

Определение. =A

№28  Непрерывные ф-ции. Простейшие свойства непрерывных ф-ций.

Пусть f(x) – числовая ф-ция, определенная на подмножестве Х множества R.

Опр.  Если x₀-предельная точка множества Х, x₀∈X и  =f(x₀), то ф-ция  f(x) называется непрерывной в точке x₀.

f(x)-непрерывная в точке x₀∈X ↔ ∀ε>0 ∃ δ=δ_ε :∀x∈X удовлетворяющих условию |x-x₀|<δ_ε выполняется неравенство |f(x)-f(x₀)|<ε.

Опр. Ф-ция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке х∈Х.

Опр. Точка  х₀∈Х, в которой ф-ция f(x)  непрерывна, называется точкой непрерывности ф-ции f(x).  Точка х₀∈Х, не являющаяся точкой непрерывности ф-ции f(x), называется точкой разрыва ф-ции f(x).

Теорема.

Пусть f(x) и g(x) – ф-ции с общей областью определения  Х, непрерывные в точке х₀. Тогда в этой токе непрерывны следующие ф-ции: f(x)±g(x), : f(x)g(x), : f(x)/g(x) (в последнем случае предполагается, что g(x) ≠0 при х∈Х).

Док-во  следует из определения непрерывной ф-ции и теоремы об арифметике пределов ф-ции.

Теорема (о локальной ограниченности непрерывной ф-ции)

Пусть ф-ция f(x) определена в окрестности точки х₀ и непрерывна в точке х₀, тогда ∃ окрестность |x-x₀|<𝛿 этой точки, в которой ф-ция f(x) ограничена.

Док-во

В силу определения непрерывности ф-ции f(x) в точке х₀  ∀ε>0 ∃δ=δ_ε >0: |f(x)-f(x₀)|<ε при |x-x₀|<δ_ε.

Фиксируя произвольное ε>0, получим что f(x₀)- ε<f(x)<f(x₀)+ε при |x-x₀|<δ

Т.е. ф-ция f(x) ограничена в окрестности |x-x₀|<δ.  ↓

Теорема ( о непрерывности сложной ф-ции)

Пусть ф-ция f(x) непрерывна в точке x₀, а ф-ция φ(t) непрерывна в точке t₀=f(x₀). Тогда сложная ф-ция y= φ(f(x)) непрерывна в точке х₀.

№29   Непрерывность многочленов и дробно рациональных ф-ций.

Непрерывность ф-ий от х, сводящихся к постоянной или к самому х, непосредственно ясна. Отсюда на основании теоремы об арифметических операциях над непрерывными ф-ми (Если две ф-ии f(x) и g(x) определены в одном и том же промежутке Х и обе непрерывны в точке х0, то в той же точке бедет непрерывны и ф-ии f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)•g(x) b f(x)/g(x)), вытекает уже непрерывность любого одночленного выражения       ax^m=a•x•x…x  как произведения непрерывных ф-ий, а затем – и многочлена (целой рациональной ф-ии) a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an как суммы непрерывных ф-ий. Во всех упомянулых случаях непрерывность имеет место во всем промежутке (-∞;+∞).

Очевидно, наконец, что и частное двух многочленов (дробная рациональная ф-ия):

(a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n)/(b₀x^m+b₁x^m-1+…+b_m-1x+b_m) также будет непрерывно при каждом значении х, кроме тех, которых обращают знаменатель в нуль

№36 Ф-ция, обратная к непрерывной ф-ции

Теорема

Пусть ф-ция f(x) непрерывна и возрастает (убывает) на отрезке [a,b], тогда ∃ обратная ф-ция х=φ(y), непрерывная и возрастающая (убывающая) на отрезке [f(a),f(b)] (f(b),f(a)])

Док-во

Для определенности  будем считать, что f(x) возрастает на отрезке [a,b].

Множество значений непрерывной ф-ции f(x) представляет собой отрезок [f(a),f(b)]

Поскольку для ∀x∈[a,b] имеют место неравенства f(a)≪f(x)≪f(b) и в силу теоремы Коши ∀ значение из отрезка [f(a),f(b)] ф-ции f(x) принимает хотя бы один раз.

Поскольку ф-ция f(x) возрастает на [a,b], то ∃ обратная ф-ция х=φ(y), определенная на отрезке [f(a),f(b)], множеством значений которой будет отрезок [a,b].

Ф-ция φ(y) возрастает ибо если допустить противное, то найдутся такие y₁, y₂ ∈[f(a),f(b)], y₁<y₂, что φ(y₁)≫ φ(y₂)

Но тогда f(φ(y₁))≫ f(φ(y₂)), т.е. y₁≫y₂ что противоречит неравенству y₁<y_2.

В силу теоремы (Пусть ф-ция монотонная на отрезке/промежутке [a,b] имеет областью значений промежуток. Тогда ф-ция f(x) – непрерывна на [a,b]) ф-ция φ(y) непрерывна на отрезке [f(a),f(b)]. ↓

№30  Замечательные тригонометрические пределы   и .

1^ый  замечательный предел.

S_{сектора BOA}=1/2R²α=x/2 ; S_∆BOA=1*1*sin(x)*1/2=.

Т.к. S_∆BOA < S_{сектора BOA} , то получим что ∀х: 0<x< имеет место <↔sin(x)<x.

Заметим, что  АС=tg(x).

S_OAC=1/2tg(x)>S_сек/BOA =x/2↔∀х: 0<x< имеет место sin(x)<x<tg(x)↔(делим все на sin x): 1<< . Для обратных величин, очевидно, справедливы неравенства cos(x)<<1 полученные неравенства работают на всем промежутке (-п/2; п/2), выкалывая точку 0. По Т.о зажимающих:  >cos x .

Следствие:

==()^2. Т.к. ()² →1 при х→0, то  ↓

№33  Классификация точек разрыва.

Если ∃ предел f(x) при x→x₀, но f(x₀), то x₀  называют точкой устранимого разрыва ф-ции f(x).  Замечание. Если x₀ – точка устранимого разрыва ф-ции f(x), то ф-ция

 g(x)=            f(x), если x≠x₀ (x∈X)

, если x=x₀             будет непрерывна а точке x₀.

Разрыв 1^ого рода. Если ∃ пределы f(x₀+0) и =f(x₀-0), причем f(x₀+0)≠ f(x₀-0), то точка x₀ называется точкой разрыва 1^ого рода.

Разрыв 2^ого рода Если не∃ хотя бы один из пределов  ,    , то точка x₀ call точкой разрыва второго рода.

№31   Непрерывность тригонометрических ф-ций

Предварительно установим следующие неравенства :

0<|sin(x)|<|x|<|tg(x)| при 0<|x|< (*)

Рассмотрим тригонометрический круг единичного радиуса, где |BC|=|sin(x)|,|DA|=|tg(x)|,<AOB=x.

Из геометрических соображений ясно, что при 0<|x|< имеем  0<S_∆AOB<S_сек.AOB<S_∆AOD т.е. 0<|BC||AC|<|AO|²|x|<|DA||AO| или (поскольку |AO|=1)  0<|sin(x)|<|x|<|tg(x)| => неравенства (*) доказано.

Непрерывность ф-ции y=sin(x) на всей числовой прямой. 

В самом деле, так как sin(x)-sin(x₀)=2sincos , то в силу неравенств (*) (при |x-x₀|<) |sin(x)-sin(x₀)|≤2|sin|<2=|x-x₀|.

Для произвольно заданного ε>0 выберем δ=ε, тогда из последнего неравенства следует, что |sin(x)-sin(x₀)|<ε при условии что |x-x₀|<δ. Следовательно ф-ция y=sin(x) непрерывна при всех х.

Непрерывность ф-ции y=cos (x) на всей числовой прямой. 

Аналогично из равенства cos(x)-cos(x₀)= -2sinsin вытекает непрерывность ф-ции y=cos(x) при всех х.

Непрерывность ф-ий y=tg(x);y=ctg(x)  следует из того что эти ф-ции представляют собой отношения двух непрерывных ф-ций. А по теореме (Пусть f(x) и g(x) – ф-ции с общей областью определения  Х, непрерывные в точке х₀. Тогда в этой токе непрерывны следующие ф-ции: f(x)±g(x), : f(x)g(x), : f(x)/g(x) (в последнем случае предполагается, что g(x) ≠0 при х∈Х)  0 это отношение является непрерывным в точках, в которых отличны от нуля ф-ции aos(x) и sin(x) соответственно.

№35 Непрерывность монотонной ф-ции, область значений которой является промежутком.

Теорема

Пусть ф-ция монотонная на отрезке/промежутке [a,b] имеет областью значений промежуток. Тогда ф-ция f(x) – непрерывна на [a,b].

Док-во

Предположим противное, т.е. что ф-ция f(x) разрывная на [a,b].

Для определенности будем считать что f(x) не убывает.

Пусть x₀ – точка разрыва

Тогда либо, f(x₀-0)<f(x₀), либо f(x₀+0)>f(x₀)

Рассмотрим эти случаи: в первом случае при x<x₀ значения ф-ции f(x)≪ f(x₀-0), а при x≫x₀ значения f(x)≫f(x₀), т.е. ф-ция не принимает значений из интервала (f(x₀-0),f(x₀)).

Аналогичным образом показывается что во втором случае ф-ция f(x) не принимает значений из интервала (f(x₀), f(x₀+0)).

В обоих случаях мн-во значений ф-ции не может быть отрезком => получили противоречие. ↓

№32 Теорема Больцано-Коши о достижении непрерывной ф-ции нуля. Теорема о промежуточном значении непрерывной ф-ции.

1^ая Теорема Больцано-Коши.

Пусть ф-ция f(x) непрерывна на сегменте [a,b], и пусть значения этой ф-ции на концах сегмента f(a) и f(b) – числа разных знаков. Тогда внутри сегмента [a,b] найдется такая точка ξ, значение ф-ции в которой равно нулю.

Док-во

Не ограничивая общности, можно считать, что f(a)<0, f(b)>0.

Пусть {x}- множество всех значений из сегмента [a,b], для которых f(x)<0.

Это мн-во не пусто (ему, например,∈ точка х=а) и ограничено сверху, (например, числом b).

Тогда, согласно теореме о точной верхней и нижней грани, у мн-ва {x} ∃  точная верхняя грань которую мы обозначим через ξ.

Заметим, что точка  ξ – это внутренняя точка сегмента [a,b] и из условий f(a)<0, f(b)>0, в силу теоремы  о локальном знакопостоянстве ф-ции, имеющей ненулевой предел, вытекает что найдется  правая δ – полуокрестность точки а, в пределах которой f(x)<0, и левая   δ – полуокрестность точки b, в пределах которой f(x)>0.

Убедимся в том , что f(ξ)=0.

Если бы это было не так, то по теореме о локальном знакопостоянстве ф-ции, имеющей ненулевой предел, нашлась бы δ – окрестность ξ –δ<x< ξ +δ  точки ξ , в пределах которой ф-ция f(x) имела бы определенный знак

Но это невозможно т.к.  по определению точной верхней грани  найдется хотя бы одно значение х из полусегмента   ξ –δ<x ≤ ξ точки ξ : f(x)<0, а для ∀значения х из интервала ξ <x < ξ+δ справедливо неравенство f(x)≫0.

Получили противоречие, которое доказывает f(ξ)=0.  ↓

2^ая Теорема Больцано-Коши.

Пусть ф-ция f(x) непрерывна на сегменте [a,b], причем f(a)=𝛼, f(b)=𝛽. Пусть далее, -любое число, заключенное м/у 𝛼 и 𝛽. Тогда на сегменте  [a,b]найдется точка ξ: f(ξ)= 𝛾.

Док-во

В доказательстве нуждается, очевидно, лишь случай   𝛼≠𝛽 (в противном случае 𝛾 =𝛼=𝛽 и можно взять   ξ=а). По этой же причине отпадает случай, когда 𝛾 совпадает с одним из чисел  𝛼 или 𝛽.

Не ограничивая общности, будем считать, что 𝛼<𝛽, 𝛼< 𝛾 <𝛽.

Рассмотрим ф-цию  φ(x)=f(x)- 𝛾.

Эта ф-ция непрерывна на сегменте [a,b] (как разность непрерывных ф-ций) и принимает на концах этого сегмента значения разных знаков: φ(а)=f(a) – 𝛾= 𝛼- 𝛾<0, φ(b)=f(b) – 𝛾= 𝛽 – 𝛾>0.

По ^1ой теореме Больцано-Коши внутри сегмента  [a,b] найдется точка ξ: φ(ξ)=f(ξ)- 𝛾=0  т.е. f(ξ)= 𝛾. ↓ 

№39 Предел последовательности () при

Теорема: =1.

Доказательство: Т.к. . Пусть  тогда-  по Т.о зажимающих, т.к. ± ч.т.д.

№34 Теорема о разрывах монотонной ф-ции.

Теорема

Пусть ф-ция f(x) монотонна на открытом промежутке Р. Тогда в каждой точке x₀∈P∃односторонние пределы , , причем f(_x0 - 0)≤f(x₀)≤f(x₀ +0) (f(_x0 - 0)≫f(x₀)≫f(x₀ +0) ) (*), если ф-ция f(x) не убывает ( не возрастает).

Док-во

Для определенности будем считать, что ф-ция f(x) не убывает на промежутке Р.

Тогда мн-во  значений ф-ции  f(x) при x<x₀ (x∈P) ограничено сверху ( т.к. f(x)≪f(x₀) )и потому имеет точную верхнюю грань М.

Очевидно, что М≪f(x₀)

Покажем, что  

В самом деле, согласно определению точной верхней грани для заданного ε>0 ∃δ>0: M-ε<f(x₀ –δ)≤M

Отсюда следует, что M-ε<f(x)≤M при x₀ –δ<x<x₀  

Следовательно, =M≤f(x₀)

Аналогично доказывается, что ≫ f(x₀). ↓

Следствие из теоремы

Каждая точка x₀∈Р является либо точкой непрерывности монотонной ф-ции

F(x), либо точкой разрыва 1^ого рода, т.е. монотонная ф-ция не может иметь точек разрыва 2^ого рода.

Док-во

В силу неравенств (*), если f(x₀+0)=f(x₀-0), то x₀ – точка непрерывности ф-ции f(x)

Если f(x₀+0)=f(x₀-0), то x₀ – точка разрыва 1^ого рода. ↓

№46

№37 1^ая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на замкнутом промежутке ф-ции.

1^ая теорема Вейерштрасса

 Всякая непрерывная функция , заданная на отрезке , ограничена, т.е. числа m и M такие, что  .

Док-во

Докажем ограниченность сверху, т.к. снизу аналогично!!!

1) -ограничена сверху, - это надо доказать. Предположим, что это неверно.

2) т.е. , такое что

3) Возьмем , что

4) Меняем получаем последовательность . Выделяем сходящуюся подпоследовательность:

5) т.к. - непрерывная

6) Если в 3) взять n=1 ,  но , противоречие => 2) – не верно т.к. верно1) => теорема доказана для M, а для m – аналогично ↓

№47 

№38  2ая теорема Вейерштрасса о достижении непрерывной на замкнутом промежутке ф-ции наименьшего и наибольшего значений.

2^ая теорема Вейерштрасса

Всякая непрерывная функция, достигает своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. если  , то и , что  а

Док-во

Только для sup, т.к. inf аналогично.

1.  Надо доказать, что, такие что  где .

2.  Допустим, такой точки нет, т.е. .

3.  Рассмотрим ,  для  по построению и - непрерывна, т.к. 1-непрерывна и разность тоже => -непрерывна => по 1-ой теореме Вейерштрасса она ограничена сверху, т.е. А1>0, что  , подставим вместо      ↓

№42 Определение логарифмической ф-ции и ее основные свойства

y=logaX  (a>0, a≠1)  определена как обратная к функ x=a^y.

В силу теорем доказанныз в #41 эта функция определ на промежутке (0,+∞), монотонно возрастает (убывает) при а>0 (0<a<1) и неприрывна на этом промежутке

№40  Определение степени с действительным показателем

Определение: Показательная функция на множестве рациональных чисел: Функция вида а^X, а>0, а≠1 xϵQ

Определение: Показательная функция на множестве действительных чисел: Функция вида а^X, а>0, а¹1 xÎR.

Это определение вытекает из показательной функции на множестве рациональных чисел путем введения фундаментальной последовательности  :         

Докажем что  := – т.к. сходится, а  это б.м.ф. * на ограниченную тоже фундаментальна сходится

№41  Основные свойства показательной (экспоненциальной) ф-ции.

Показательная функция у = а^х (а>0) определена для любого рационального х.

Будем пока считать а>1

Имеются следующие св-ва функции f(r)= a^r  рассматриваемые на множистве рац чисел:

1) a^r1+r2=a^r1*а^r2

2) Если  r1<r2,то a^r1<a^r2

3) ф-ция f(r)=a^r непрерывна в точке 0, т.е. lima^r=1

4) Если {r} – сход фундам послед рациональных чисел, то послед {a^r*n} – фунд и следовательно сходится.

Свойства 1 и2 легко проверить докажем 3и4

Док-во 3

Lima^1/n=1 n→∞  (1)

Обозничим a1/n-1=an, Очевидно an>0. По формуле бинома Ньютона а= (1+an)^n= 1+an+n(n-1)an^2/2+...≥1+nan, откуда видно, что )<an<(a-1)/n

   Liman=lima^1/n-1=0   n->∞ (1) – доказано => lima^-1/n=1 n->∞.  (2)

Lima^r=1. ε>0. В силу (1) и (2) найдется такой  номер m, что выпол неравенство

0<a^1/m-1<ε, 0<1-a^1/m<1+ε                 1-ε<a^-1/m<a^1/n<1+ε

!r!<δ< 1/m, тогда.  

1-ε<a^-1/m<a^r<a^1/m<1+ε

Таким образом. При !r!<δ     !a^r-1!<ε, т.е. lim a^r=1 r->0 – доказано.

Док-во:4

Поскольку {r} – сход, то она огран и фундаментальна.  Следовательно ограничена  и послед {a^rn}.

! a^rn!≤M/ (3)

 В силу св-ва 3 для каждого ε>0 найдется такое δ>0, что для любого рационального r2 удволетворяющего условию !r!<δ, выполняется неравенство

                                                 !A^r  -  1!<ε/M  (4)

Т.к. Последовательность {rn} фунд, то существует такой  номер N, что при всех n,m>N  имеет место неравенства  !rn-rm!<δ (5)

Из (4) и (5)       n,m>N

!a^rn-rm   -  1!<ε/m

!a^rn-a^rm!=!a^rn!!a^rn-rm  -  1!< Mε/m=ε/

№43 Непрерывность показательной и логарифмической ф-ции.

Теорема (для показательной ф-ции)

Показательная ф-ция y=a^x (при a>0) непрерывна на всей числовой оси, причем при a>1 (a<1) она возрастает (убывает) и мн-во ее значений представляет собой промежуток (0,+∞).

Док-во

1)  В силу теоремы о непрерывности сложной ф-ции и того, что показательная ф-ция y=a^x  непрерывна в точке 0 для ∀ вещественного числа x₀

2)  Поэтому, , т.е. ф-ция y=a^x  непрерывна на всей числовой прямой.

3)  Покажем, что мн-во значений ф-ции y=a^x  представляет собой промежуток (0,+∞).

4)  Пусть, например, a>1.

5)  Заметим, что если область определения непрерывной ф-ции f(x)  представляет собой промежуток Р, то и мн-во ее значений f(P) – так же промежуток

6)  Тогда в силу пункта 5) получим, что мн-во значений ф-ции  y=a^x есть некоторый промежуток Р.

7)  Поскольку , и a^x>0 (для ∀R-числа), то Р=(0,+∞). ↓