Ответы на вопросы № 1-83 к экзамену по дисциплине "Математический анализ" (Операции над множествами (объединение, пересечение, разность, дополнение). Интегрирование простейших дробно-рациональных функций - нахождение интегралов), страница 2

№45 то есть

Док-во: Пусть Тогда возьмем n= и получим n ≤ x < (n+1), значит , значит , значит .

Имеем === e. Аналогично = e*1=e По Т.о зажимающих . Теперь для сделаем подстановку t= -x, получим ч.т.д.

№44 Нахождение предела ф-ции

№48 Касательная к кривой как наиболее тесно прилегающая к ней прямая. Производное число функции в точке. Уравнение касательной к графику функции.

Опр. Касательной к данной непрерывной прямой в данной точке М ( точка касания) называется предельное положение секущей ММ’, проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения М’ неограниченно приближается по кривой к первой.

Уравнение касательной:

Y = f(x), M(x; y); M’(Δx; Δy)

MM’ –секущая; если нарисовать картинку, то видно, что угловой коэффициент секущей равен tgφ (φ - угол между секущей и осью Ox), и равен в свою очередь (Δy / Δx )- приращению функции разделить на приращение аргумента. Когда М стремится к М’, очевидно, что Δx→0, MM’→MT (касательная) tgφ→ tgα (α - уголь касательной и Ox), тогда угловой коэффициент касательной будет равен lim(Δx→0) Δy / Δx, а это производная в данной точке.

Теперь можно написать уравнение касательной. Y – y = k (X – x) (X;Y) – текущие координаты.

Общий вид у= f’(x) (X – x) + f(x).

№49. Теорема о линейном приближении. Непрерывность дифференцируемой функции.

Теорема. Если существует предел f в точке x₀-бмф при ,

такие что f(x)=f(x₀)+k(x- x₀)+(x)( x- x₀), где k= f’(x₀)

Док-во: (необходимость) ) Пусть , тогда f(x)-f(x₀)-k(x- x₀)=(x)( x- x₀), где k= f’(x₀) чтд.

(достаточность) f(x)-f(x₀)-k(x- x₀)=(x)( x- x₀)(x) чтд.

№50. Вычисление производных по определению

= n

№52. Производная композиции (цепное правило)

Теорема: Пусть функция g диф-ма в точке x₀, а ф-ция f диф-ма в точке y₀=g(x₀), тогда ф-ция h(х)=f(g(х)) диф-ма в точке x₀ и h’(x₀)=f`(y₀)*g’(x₀)

Доказательство:

Dy=y-y₀, Dx=x-x₀, Df(y₀)=f’(y₀)*Dy+o(Dy), Dg(xo)=g’(xo)*Dx+o(Dx), y=g(x₀+Dx)

Dh(x₀)=f(g(x₀+Dx))-f(g(x₀))=f(y)-f(y₀)=f’(y₀)*Dy+o(Dy)=f’(y₀)*(g(x₀+Dx)-g(x₀))+o(Dg)==f’(y₀)*(g’(x₀)*Dx+o(Dx))+o(Dy)= f’(y₀)*g’(x₀)*Dx+f’(y₀)*o(Dx)+o(Dy)

Dh(x₀)/Dx=f’(y₀)*g’(x₀)+r, r=f`(y₀)*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx

r=f`(y₀)*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx=f`(y₀)*(a(x)*Dx)/Dx+(a’(x)*Dy)/Dx=f’(y₀)*a(x)+a’(x)*Dy/Dx®f’(y₀)*0 + 0*g’(y₀) при Dx®0 (a(x)®0 a’(x)®0)

№55 Производные и дифференциалы высших порядков

Понятие производной n-го порядка

№54 Теорема о производной обратной ф-ции.

Пусть ф-ция строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки х. Пусть, кроме того, это ф-ция дифференцируема в указанной точке х и f ‘(x)≠0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y=f(x) определена обратная для y=f(x) ф-ция x=f^-1(y), причем указанная обратная ф-ция дифференцируема в соответствующей точке y=f(x) и для ее производной в этой точке справедлива формула (*) {f^-1(y)} ‘ = .

Док-во

1) Предварительно напомним условие теоремы об обратной ф-ции: Пусть ф-ция y=f(x)возрастает (убывает) и непрерывна на сегменте [a,b], и пусть 𝛼=f(a),𝛽=f(b). Тогда на сегменте [𝛼, 𝛽] (соответственно на сегменте [𝛽, 𝛼]) определена обратная для y=f(x)ф-ция x=f^-1(y), которая возрастает (убывает) и непрерывна указанном сегменте (*).

2) Т.к. ф-ция y=f(x) строго монотонна и непрерывна и непрерывна в некоторой окрестности данной точки х, то в силу (*) обратная ф-ция x=f^-1(y) определена, строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности соответствующей точки y=f(x).

3) Придадим аргументу этой обратной ф-ции в указанной точке произвольное достаточно малое и отличное от нуля приращение ∆y.

4) Этому приращению ∆y отвечает приращение ∆х=f^-1(y+∆y) – f^--1(y)обратной ф-ции в соответствующей точке y=f(x), причем в силу строгой монотонности обратной ф-ции указанное приращение ∆х отлично о нуля.

5) Это дает нам право написать следующее тождество (**): =

6) Пусть теперь в тождестве (**) приращение ∆у→0

7) Тогда в силу разности формы условия непрерывности обратной ф-ции x=f^-1(y) в соответствующей точке y=f(x) приращение этой ф-ции ∆х также стремится к нулю

8) Убедимся в том, что в таком случае ∃ предел правой части (**), равный величине , стоящей в правой части (*).

9) Этим будет доказано, что тот же самый предел имеет и левая часть (**), т.е. будет доказано, что обратная ф-ция имеет производную в соответствующей точке y=f(x) и для этой производной справедливо равенство (*).

10) jимеет предел при ∆х→0 равный , где х – данная точка.

11) Т.к. x=f^_1(y), ∆х=f^_1(y+∆y) – f^_1(y), т х+∆х=f^_1(y+∆y), т.е. y+∆y=f(х+∆х) и ∆y=f(x+∆x) --f(x)

12) Отсюда следует, что права часть (**) может быть переписана в виде .

13) Из последнего равенства в силу определения производной f ‘(x) и предположения f ‘(x)≠0 сражу же вытекает, что предел при ∆х→0 правой части (**) ∃ и равен . ↓

№51. Арифметика производных: сумма, произведение, частное

Теорема. Если ф и г – дифф в иксноль, то: (ф+г), (фг), (ф/г) тоже диф. И

1) (f+g)’ = f’+g’

2) (fg)’=f’g+g’f

3) (f/g)’=(f’g-g’f)/g²

Доказательства основаны на Т.о линейном приближении: y(x₀+h)=y(x₀)+ y’(x₀)h+, где

№54 Определение дифференциала, его свойства.

Пусть ф-ция y=f(x) дифференцируема в точке х, т.е. ∃ предел . Тогда, , (*) обозначим через dxновое независимое переменное.

Опр. Ф-ция , линейная относительно переменной dx, call дифференциалом (или первым дифференциалом) ф-ции f(x) в точке х и обозначается через dyили df. Иногда удобно писать dy(x) или df(x). Итак, dy=df= (**)

Свойства дифференциала

Из формулы (**) следует, что , поэтому производную часто обозначают или .

Если положить, что dx=, то формулу (*) можно переписать так: , таким образом, разность есть бесконечно малая более высокого порядка малости , чем dx т.е. дифференциал представляет собой главную линейную часть приращения ф-ции.

Т.к. при , то при малых ∆х имеет место приближенное равенство или , таким образом получена формула для приближенного вычисления ф-ции f(x) при значений х, близких к .

Свойство инвариантности формы первого дифференциала.

Рассмотрим сложную ф-цию , для которой выполнены все условия теоремы ( о дифференцировании сложной ф-ции). Тогда, с одной стороны (*), где t – это независимое переменное, с другой стороны, в силу теоремы ( о дифференцировании сложной ф-ции) или (**), где t=f(x). Т.О., дифференциал ф-ции φ(t) имеет один и тот же вид (*) иди (**) вне зависимости от того, является ли t независимым переменным или ф-цией какого-либо другого переменного. Это свойство call свойством инвариантности формы первого дифференциала.

№56 Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Возрастание и убывание ф-ций.

Теорема Ферма.

Пусть ф-ция f(x) имеет в точке х₀∈Р локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, тогда

Док-во

Пусть, например в точке х₀ ф-ция f(x) имеет локальный максимум, тогда при х₀<x<x₀+ δ имеет место неравенство .

Из него следует, что (1)

Точно так же при и (2)

Из неравенств (1) и (2) следует, что ↓

Теорема Ролля

Пусть ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a;b) и f(a)=f(b), тогда найдется хотя бы одна точка ξ ∈(a;b) : .

Док-во

Согласно теореме Вейерштрасса ф-ция f(x) ограничена на отрезке [a,b].

Пусть ,

Если точка m=M, то f(x)=const и в качестве ξ можно взять любую точку интервала (a;b).

Если m≠M , то выполнено по крайней мере одно из неравенств .

Пусть , тогда в силу теоремы Вейерштрасса ∃ хотя бы одна точка ξ ∈(a;b) : f(ξ) =M (ξ ≠a, ξ ≠b т.к. .

Следовательно, в точке ξ ф-ия f(x) имеет локальный максимум.

В силу теоремы Ферма

Случай, когда рассматривается аналогично. ↓

Теорема Лагранжа

Пусть ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a;b), тогда найдется хотя бы одна точка ∈(a;b): .

Док-во

Рассмотрим ф-цию

Очевидно, что g(x) непрерывна на отрезке[a,b], дифференцируема на интервале (a;b) и g(a)=g(b)=0

В силу теоремы Ролля ∃ ξ∈(a;b): т.е. . ↓

Возрастание и убывание ф-ций

Пусть ф-ция y=f(x) определена на множестве D и пусть D₁⊂D.

Если для ∀ значений x_1, x₂∈D₁ аргументов из неравенства x₁<x₂ вытекает неравенство: f(x₁)< f(x₂), то ф-ция call возрастающей на множествеD₁, если f(x₁)≤f(x₂), то неубывающей на множестве D_1.

Если для ∀ значений x_1, x₂∈D₁ аргументов из неравенства x₁<x₂ вытекает неравенство: f(x₁)> f(x₂), то ф-ция call убывающей на множествеD₁, если f(x₁)≥f(x₂), то невозрастающей на множестве D₁

Следствие из Теоремы Лагранжа

Пусть ф-ция f(x) дифференцируема на промежутке Р. Тогда, если на промежутке Р, то ф-ция f(x) не убывает (не возрастает). Если же на промежутке Р, то f(x) возрастает (убывает).

№57 Понятие экстремума. Необходимое условие экстремума. Достаточное понятие экстремума.

Необходимое условие экстремума

Если дифференцируемая ф-ция y=f(x) имеет экстремум в точке x₀, то ее производная в этой точке равна нулю: .

Док-во

Пусть, для определенности, х₀ – точка максимума.

Зн., в окрестности точки х₀выполняется неравенство

Но тогда и .

По условию теоремы производная существует.

Переходя к пределу, при получаем , если и , если .

Поэтому .

Для x₀ – точка минимума ф-ции f(x) доказывается аналогично. ↓

Достаточное условие экстремума

Если непрерывная ф-ция y=f(x) дифференцируема в некоторой δ-окрестности критической точки х₀ и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то х₀ – точка максимума; с минуса на плюс, то х₀ – точка минимума.

Док-во

Рассмотрим δ-окрестность точки х_0.

Пусть выполняются условия: .

Тогда ф-ция f(x) возрастает на интервале , а на интервале она убывает.

Отсюда следует, что значение f(x) в точке является наибольшим на интервале что и означает что x₀ – точка максимума ф-ции.

Аналогично эта теорема доказывается для случая, когда и . ↓

№58,59 Выпуклость вверх, вниз; точки перегиба. Достаточное условие выпуклости для дважды дифференцируемых ф-ций.

Ф-ция выпукла вверх в точке x₀, если

Выпуклость вверх

График дифференцируемой ф-ции call выпуклым вниз на интервале (a;b), если он расположен выше ∀ ее касательной на этом интервале.

Выпуклость вниз

График дифференцируемой ф-ции call выпуклым вниз интервале (a;b), если он расположен ниже ∀ касательной на этом интервале.

Точка графика непрерывной ф-ции , отделяющая его части разной выпуклости, call точкой перегиба.

Теорема (о достаточном условии выпуклости для дважды дифференцируемых ф-ций)

Если ф-ция во всех точках интервала (a;b) имеет отрицательную вторую производную, т.е. , то график ф-ции в этом интервале выпуклый вверх. Если же , ∀x∈(a;b) – график выпуклый вниз.

Док-во

Пусть , ∀x∈(a;b).

Возьмем на графике ф-ции произвольную точку M с абсциссой x₀∈(a;b) и проведем ч/з М касательную (см рис)

Покажем, что график ф-ции расположен ниже этой касательной.

Для этого сравним в точке х∈(a;b) ординату y кривой с ординатой y_кас ее касательной.

Как известно уравнение касательной т.е. .

Тогда,

По теореме Лагранжа

Поэтому

Разность снова преобразуем по формуле Лагранжа:

Т.О., получаем

Исследуем это равенство:

Если x> , то . Следовательно, т.е. y<y_кас:

<< <

Если x<x₀, то . Следовательно,

>> >

Итак, доказано, что во всех точках интервала (a;b) ордината касательной больше ординаты графика, т.е. график ф-ции выпуклый вверх.

Аналогично доказывается, что при ↓

№60 Асимптоты ф-ций. Общая схема исследования ф-ции и построение ее графика.(вставить рис)

Опр. Асимптотой кривой call прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремиться к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Асимптоты бывают

Вертикальными

Наклонными

Горизонтальными.

Вертикальные асимптоты.

- вертикальная асимптота графика ф-ции , если , или , или .

Действительно, в этом случае непосредственно из рис видно, что расстояние от точки М(x;y) кривой от прямой равно .

Если x→a, то d→0. Согласно определению асимптоты, прямая является асимптотой кривой

Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения х в близи которых ф-ция неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.

Наклонная асимптота

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде , где . Причем, если хотя бы один из пределов не ∃ или равен ∞, то кривая асимптоты не имеет. В частности, если к=0, то поэтому – уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание: Асимптоты графика ф-ции могут быть разными, поэтому при нахождении пределов следует отдельно рассматривать случай, когда

Общая схема исследования ф-ции и построение ее графика

Найти .

Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.

Найти интервалы знакопостоянства ф-ции (промежутки, на которых f(x)>0 или f(x)<0).

Выяснить, является ли ф-ция четной, нечетной или общего вида.

Найти асимптоты графика ф-ции.

Найти монотонности ф-ции.

Найти экстремумы ф-ции.

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика ф-ции.

По результатам исследования строим график.

№61 Теорема Коши, обобщенная теорема Коши.

Теорема Коши

Если ф-ции f(x) и φ(x) непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируемы на интервале (a;b), причем для .

Док-во

Отметим, что , т.к. в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка с: , чего не моет быть по условию теоремы.

Рассмотрим вспомогательную ф-цию .

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), т.к. является линейной комбинацией ф-ций f(x) и φ(x); на концах отрезка она принимает одинаковые значения .

На основании теоремы Ролля найдется точка .

Но .

Следовательно, .

Откуда следует, что . ↓

№62 Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида )

Пусть ф-ции f(x) и 𝜑(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х₀ и обращаются в нуль в этой точке: . Пусть в окрестности точки . Если ∃ предел , то .

Док-во

Применим у функциям f(x) и 𝜑(x) теорему Коши для отрезка [x₀;x], лежащего в окрестности точки х₀.

Тогда , где с лежит м/у и х.

Учитывая, что , получаем . (*)

При х→х₀, величина с также стремиться к х_0.

перейдем в равенстве (*) к пределу: .

Т.к. , то Поэтому . ↓

Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечная малых равен пределу отношения их производных, если последние ∃.

Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида )

Пусть ф-ции f(x) и 𝜑(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х₀ (кроме, может быть, точки х₀), в этой окрестности , то .

№63 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, с остаточным членом в форме Пеано.

Пусть функция (n+1) раз непрерывно дифференцируема в окрестности точки . Тогда в этой окрестности имеет место формула Тейлора: , где - остаток: 1) - остаток в форме Лагранжа и 2)- остаток в форме Пеано

№64 разложение по степеням х ф-ций: .

66. первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегрлов

Первообразной функцией для данной функции f(x) на данном промежутке называется такая функция F(x), производная которой равна f(x) или дифферинциал которой равен f(x)dx на рассматриваемом промежутке.

Опр. Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) или от дифференциального выражения f(x)dx и обозначается символом

Свойства:

Таблица основных интегралов

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. 12. .

13.C

67, 68. Теорема о замене переменной. Примеры использования формулы замены переменной.

Опр. Пусть определенна и дифференцируема на множестве Х, представляющем собой либо интервал, либо открытую полупрямую, либо бесконечную прямую, и пусть символ (t) обозначает множество всех значений этой функции. Пусть, далее, для функции g(x) существует на множестве (t) первообразная функция G(t), т.е. тогда всюду на множестве Х для функции .

Док-во. Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. , и учесть, что Берем новую переменную t=, такую, что имеет равенство просто вычисляется. Доказанное выше утверждение позволяет нам написать следующую формулу для этого интеграла:

Пример. cos3x+C

69. Вычисление интегралов. ,,.

70. Теорема об интегрировании по частям. Примеры использования формулы интегрирования по частям.

Пусть каждая из функций u(x) и v(x) дифф-ма на множестве x и на этом множестве существ первообраз для функции v(x)*u Тогда на множестве x существ первообраз и для функции u(x)*v′(x), причем справедлива формула 𝑢𝑥𝑣′𝑥𝑑𝑥 =𝑢𝑥𝑣𝑥 − 𝑣𝑥𝑢′𝑥𝑑𝑥.

Вычислим интеграл I=lnxdx (n). Полагая u = lnx, dv = 𝑥𝑛dx и используя формулу 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑥𝑣𝑥 − 𝑣𝑑𝑢, получим du =, v = I =lnx --dx = (lnx-- )+C.

№79 Теорема о разложении многочлена (формула Тейлора для многочлена). Теорема о разложении многочлена f(X) по степеням многочлена g(X).

Формула Тейлора для многочлена

Пусть ф-ция f(x) есть многочлен P_n(x) степени n: .

Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени n относительно разности , где х₀ – произвольное число , т.е. представим P_n(x) в виде . (*)

Для нахождения коэффициентов A₀, A₁, A₂,…, A_n продифференцируем n раз равенство (*).

……………………………………………………………………………………

Подставляя в полученные равенства и равенство (*), имеем:

т.е.

……………………………………………..

т.е. .

Подставляя найденные значения A₀, A₁, A₂,…, A_nв равенство (*), получим разложение многочлена n-ой степени по степеням : . (**)

Формула (**) call Формула Тейлора для многочлена P_n(x) степени n.

71. вычисление интегралов , sinbxdx.

Если к ним применить интегрирование по частям (в обоих случаях взяв, скажем, dv =, v = ), получим

= cosbx +sinbxdx,

sinbx dx = sinbx - cosbxdx.

Каждый из этих интегралов оказался выраженным через другой.

Если в первую формулу подставить выражение второго интеграла из второй формулы, то придем к уравнению относительно первого интеграла, из которого он и определится:

cosbxdx = + C.

sinbxdx = + C.

Рекурентная формула:

(n= 1,2,3…).

u = , dv = dx, так что du = - , v = x.

Мы получим:

+ 2ndx.

Последний интеграл можно преобразовать следующим образом:

Подставляя это выражение в предыдущее равенство, придем к соотношению

, откуда

№72 Интегрирование по частям

Пусть функции и - непрер. диф-мые на выполняется

Доказательство: 1) - по определению, ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)

74……. Операция комплексного сопряжения. Правило деления комплексных чисел.Сопряженным числом к числу z=x+y=x+y называется комплексное число x+y)= x-yТаким образом, Re =Re z, Im =-Im z и ||=|z|

1) (=z 2)= 3) 4)()= ( 5)Re z =, Im z =

№80 Разложение рациональной дроби на сумму правильных дробей.

Рациональной дробью call отношение двух алгебраических многочленов.

Рациональная дробь call правильной, если степень многочлена Р(х), стоящего в числителе, меньше степени многочлена Q(x), стоящего в знаменателе. В противном случае рациональная дробь call неправильной.

Теорема

Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители , можно представить (и притом единственном образом) в виде следующей суммы простейших дробей: , некоторые действительные коэффициенты

75. Формула корней n-й степени из комплексного числа. Корни n-й степени из 1 и их расположение на плоскости.

ТЕОРЕМА 1. Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

Следствие. Модуль целой положительной степени комплексного числа равен такой же степени модуля этого числа, а аргумент степени равен аргумента числа, умноженному на показатель степени, т. е. |

ТЕОРЕМА 2. Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей чисел, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Пусть где . Тогда на основании этих двух теорем имеем

Отсюда получаем =r, (=0, Таким образом,

Заметим, что здесь под понимается арифметическое значение корня. Здесь в качестве числа достаточно брать лишь значения так как при всех прочих значениях получается повторения уже найденных значений корня. Следовательно, окончательно имеем