Модель общего экономического равновесия (Модель Эрроу-Дебре) и ее обобщения, страница 2

(2.3) Каждый потребитель получает долю прибыли фирмы и .

Доход потребителя равен сумме , где ,

11.3 Формулировка общего экономического равновесия и формулировка теоремы о его существовании.

Общее экономическое равновесие ( конкурентное равновесие) есть набор векторов

(1)

удовлетворяющих условиям:

1) вектор и ,

вектор называется вектором цен общего экономического равновесия МЭД;

2) вектор, есть локальное рыночное равновесие фирмы , т.е. решение задачи максимизации прибыли фирмы при ценах

при условии, что

3) вектор есть локальное равновесие потребителя, т.е. решение задачи максимизации функции полезности при ценах

при условии, что

4) имеет место следующее векторное неравенство:

(которое означает отсутствие в МЭД дефицита) и условие дополняющей (нежёсткости)

где

Условие дополняющей (нежесткости) в развёрнутом виде выписывается так:

Это условие означает, что если то обязательно,

если же , то цена

При выполнении условий (1.1), (1.2), (2.1), (2.2), (2.3) существует общее экономическое равновесие (1) (теорема Эрроу – Дебре).

ПРИМЕР. Рассмотрим следующую МЭД

1) пространство продуктов _;

2) два потребителя и с характеристиками:

потребитель имеет начальный запас и функция полезности ;

3) фирма F имеет технологическое множество

Y = {(y₁, y₂) ôy₁< 1 и y₂ £ y₁/(y₁-1)};

4) доли потребителей в прибыли фирмы равны

Рис.11.2

Технологическое множество Y изображено на рис. 11.2.

Пусть вектор цен Очевидно, в точке нормаль к линии имеет тангенс угла наклона y₁/y₂ (см. рис. 11.2). Дифференцируя равенство , получаем , так что тангенс угла наклона нормали равен . Следовательно, локальное равновесие фирмы определяется как решение задачи на условный экстремум: при условии, что .

Локальное равновесие

удовлетворяет соотношению

. Введём параметр

Тогда и .

Функция предложения фирмы – это , где .

Рассмотрим поведение первого потребителя Его доход равен

Он максимизирует функцию полезности при бюджетном ограничении С помощью множителей Лагранжа получаем, что для выбора , максимизирующего полезность, выполнено равенство . Таким образом, поэтому и

Следовательно, функция спроса первого потребителя это

Перейдём ко второму потребителю . Его доход равен и свою функцию полезности этот потребитель максимизирует при бюджетном ограничении . Вновь используя множители Лагранжа, получаем, что для набора, максимизирующего полезность, выполнено равенство . Следовательно, Отсюда вытекает, что и