Квадратные матрицы и их типы. Вычисление определителей

Матрица назыв. квадратной, если m = n

        а₁₁  а_{12 …} а_1n                        Число строк n квадрат. матрицы назыв. также её порядком.

А=    :    :     :           

        а_m1 а_{m2 …}а_mn 

Св-ва операций составляют аксиомы теории колец: А1 – А4, М1, М2, D

Но: АВВА – нет коммутативности                   

Сущ-ет единичная матрица  1 0 … 0

                                                 0 1 … 0

                                                 … … …

                                                 0 0 … 1     Обозначение: Е

                                                                   Св-во: AE = EA = A

Каждой кв. матрице ставится в соответствии число, назыв. определителем. Обозначение:

                                  a₁₁ … a_1n  

detA = ∆A = A   =    … … …

                                  a_n1 …  a_nn    

Вычисление определителей:

1) Определ. матрицы первого порядка   detА =  a₁₁  = a₁₁

2) Определ. матрицы второго порядка вычисляется по формуле detB =   b₁₁ b₁₂   = b₁₁b₂₂ -

                                                                                                                           b₂₁ b_{22        -} b₁₂b₂₁

3) Определ. матрицы третьего порядка detC=  с₁₁ с₁₂ с₁₃   = с₁₁с₂₂с₃₃ + с₁₂с₂₃с₃₁ + с₂₁с₃₂с₁₃ -

                                                                               с₂₁ с₂₂ с₂₃    – с₁₃с₂₂с₃₁ – с₂₁с₁₂с₃₃ – с₃₂с₂₃с₁₁ 

                                                                               с₃₁ с₃₂ с₃₃

 4) Минором эл-та a_ij матрицы А назыв. определ. матрицы, получаемый из А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Обозначается через М_ij.

Алгебраическим дополнением эл-та a_ij назыв. выраж-е А_ij = (-1)^{i + j} M_ij.

Для выч-я определ. любых порядков используется след. теорема: сумма произведений эл-ов какой-н. строки или столбца на их алгебраические дополнения (a_i1A_i1 + … + a_inA_in) не зависит от выбора строки или столбца и равна определителю данной матрицы

                                                           a₁₁ … a_1n

                        1  i  n detA =    … … …   = a_ijA_ij

                                                           a_n1 …  a_nn

Формула назыв. формулой разложения определ. по (i-й) строке. Аналогичный рез-т верен и для столбцов.

Опр-е: Перестановка отрезка [0; n] = {1, 2, 3, …, n},  есть набор чисел этого множества   (2, 3, …, n) =  (пример: n = 2   (1; 2) = ₁    (2; 1) = ₂)

Опр-е: Инверсия перестановки  - любая пара чисел (i, j) перестановки, в которой i предшествует j, но i>j.

Перестановка четная, если в ней четное число инверсий, и нечетное, если число инверсий нечетное.

 – перестановка, то для любого номера i = 1, …, n

_(i) – число, которое стоит на месте i.

Знак подстановки :

         sgn() =    1, если  четная;

                            -1, если  нечетная.

Пусть А = Мn(K) – кв. матрица с эл-ми из поля К.

Определ. выч-ся по формуле:

detA = ∑sgn()a₁₍₁₎ a_{2(2) ….} a_n(n)

            n – все перестановки  от 1 до n

Св-ва определителей:

1) detA = detA^Т, т.е. при выч-и определ. столбцы и строки матрицы равноправны.

2) Если у матрицы поменять местами две строки (два столбца), то её определ. сменит знак.

2*) Если у матрицы две строки (два столбца) одинаковые, то определ. этой матрицы =0

3) Общий множитель эл-ов строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

3*) Если у матрицы есть нулевая строка (столбец), то определ. этой матрицы =0

4) Если к эл-ам нек-ой строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие эл-ты какой-л. др. строки (столбца), умнож. на любое число, то определ. матрица не измен.

5) Если эл-ты некоторой строки (столбца) матрицы умножить на одно и то же число, то определитель новой матрицы получается из исходной умножением на это же число.

7.

Кв. матрица А назыв. вырожденной (невырожденной), если detA = 0 (detA0)

Опр-е: Матрица АMn(K) назыв. обратимой, если найдется такая матрица BMn(K), для которой АВ = Е = ВА = Е

Заметим, что такая матрица В определяется по А однозначно – это следует из ассоциативности произведения матриц.               Е             Е

                                                                                В₁ = В₁(АВ₂) = (В₁А)В₂ = В₂

Теорема: Матрица А обратима когда ее определ. отличен от нуля

Док-во: Пусть А обратимая матрица и В = А^-1, АВ = Е

              Тогда detA detB = det(AB) = detE = 1

               и detA 0

Теорема: Матрица А невырожденная<=>, когда сущ-ет матрица А^-1, такая что        АА^-1 = А^-1А = E

Матрица А^-1 назыв. обратной к матрице А. Выполняются след. св-ва:

1) (АB)^-1 = B^-1A^-1;                2) (А^т)^-1 = ( А^-1)^т;                3) (lА)^-1 = (1/l)А^-1.

Нахождение обратной матрицы.

1) а) вычислить detA 0;

    б) найдем Ā = (А_ij), где А_ij - алгебр. дополнение эл-ов матрицы А. 

    в) найдём А^* = (Ā)^т. Матрица А^*  назыв. присоединенной матрицей для А.

    г) А^-1 = (1/detА)А^*.

2) Метод элементарных преобразований.

    Построим матрицу (А|Е) размерности n2n и с помощью элементарных преобразований (перестановка строк (столбцов), умножение любой строки на любое число ≠0, прибавляем одной строки к др. или столбцов) строк (столбцов) приведем ее к виду (Е|В): (А|Е) ~ (Е|В). При этом В = А^-1. Если матрица (А|Е) никакими преобразованиями не приводится к нужному виду, это означает, что detA = 0 и А^-1 не сущ-ет.