Линейная зависимость и независимость векторов, линейная оболочка системы векторов. Определение подпространства

Примечание:!! Везде, где после буквы идёт цифра, например а1, это означает а_1, так же β’2 – это β штрих с индексом 2, € - значок принадлежит.

Линейная зависимость и независимость векторов, линейная оболочка системы векторов. Определение подпространства.

Лемма 1:  1.Всякая подсистема линейнонезависимых систем векторов линейно ненезависимы.

2. Всякая подсистема линейнозависимой системы векторов линейнозависимы.

Д-во:

2. а1, а2, …, аk

    λ1а1+ λ2а2+…+λLaL=0

при под. λ1, λ2, …, λL  на все λ =0

λ1а1+λ2а2+…+0λL=0

доказано

1. а1, а2,…, аL – подсистема

Пусть она линейнозависема, тогда её надсистема, по только что доказанному должна быть линейнозависима, что противоречит условию. Доказано.

Лемма 2:   а1, а2, …, аk – линейно независима

                  а1, а2, …, аk – линейно зависима

b € L (а1, а2, …, аk) (т.е.  в мин. Комбинации векторов а1, а2, …, аk).

= лемма 2= лемма по рассмотрению

Д-во:

λ1а1+λ2а2+…+λkλk+mb=0

1. m=0 (может ли m= 0?)

λ1a1+λ2a2_{+ …}λkak = 0 не все λ=0, но этого быть не может, т.к. по усл. система а1,а2,…,ak – независима => m не равно 0.

2. m не равно 0

 b= -λ1 *а1 – λ2 * а2 - …λk * ak

       m           m                 m

ð b € L (а1, а2, …, аk) b лежит в мин. Оболочке векторов а1, а2, …, аk. Доказано

Лемма 3: о единственности

Пусть есть система а1, а2, …, аk – лин. И b € L(а1, а2, …, аk), b=β, a1+ β2a2+…+ β_ka_k.

Если b=β’1a1+ β’2a2+ βkak, то существует I β’_i= β_i, т.е. разложение вектора b единственно

Д-во:

0=( β₁- β’₂)a₁+( β₂- β’₂)a₂+…+( β_k- β’_k)a_k, т.к. сист. а₁, а₂, …, а_k – лин.незав. = 0

β_i- β’_i=0 Доказано.

Скалярное произведение в Rn и Cn, его осн. св-ва. Длина (норма) вектора.

х*у=                 def

                  (х,у) = x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n

Св-ва:

1. (х,у)=(у,х) – коммутативная
2. (х+х;у)=(х;у)+(х’;у)              (λх+ λ’х’;y)= λ(x;y)+ λ’(x’;y)
3. (λх; у)= λ(х;у)
4. (x;x)>=0, причём (х;х)=0 ó х=0 неотрицательность и невыромденность

Опр-е: Норма (модуль, длина) вектора ||х||²-(х;х) ||х||=√(х₁²+х²₂+…+х²_n)