Задания на вторую контрольную работу по дисциплине "Теория вероятностей" (Расчет плотности распределения случайной величины и дисперсии. Поиск функции и таблицы распределения случайной величины)

1. Случайная величина x имеет нормальное распределение с параметрами a = -1, s² = 4. Найти плотность распределения случайной величины h = 1-2x. Найти дисперсию Dh.
2. Случайная величина x имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью вида f_x(t) = ct при 0 < t < 5, f_x(t) = 0 при t не принадлежащих (0; 5). Вычислить постоянную c и найти
   а) функцию распределения случайной величины x,
   б) т а б л и ц у распределения случайной величины h = [x] (целая часть x).
3. При одном выстреле стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,2 независимо от результатов других выстрелов. Случайная величина x равна количеству попаданий после трех выстрелов, а случайная величина h равна единице, если при первом выстреле произошло попадание, и равна нулю иначе.

а) Построить таблицу совместного распределения x и h и найти их коэффициент корреляции.
б) Нарисовать график функции распределения случайной величины h.

4. Независимые, одинаково распределенные случайные величины x₁, ..., x_n имеют равномерное распределение на отрезке [1, 2]. Найти функцию распределения и математическое ожидание случайной величины min{x₁,...,x_n}.
5. Случайная величина x имеет показательное распределение с параметром a = 2, случайная величина h - равномерное распределение на отрезке [0; 3], и случайная величина c - распределение Пуассона с параметром 4, причем все эти величины независимы. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины f = x-4hc.
6. Случайная величина x имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью f_x(t) = p be^bt при t < 0 и f_x(t) = (1-p)ae^-at при t ≥ 0, где 0 < p < 1, a > 0, b > 0 - некоторые параметры.
   а) Нарисовать график плотности и вычислить моду x , мат. ожидание Ex. Указать, как положение медианы x_0,5 зависит от p.
   б) Привести пример числовых значений a, b, p, при которых Ex < x  < x_0,5 (мат. ожидание < моды < медианы).
   в) Привести пример числовых значений a, b, p, при которых x_0,5 < x  < Ex (медиана < моды < мат. ожидания).
   Указание: для абсолютно непрерывного распределения модой называется любая точка локального максимума плотности; медианой является любая точка x_0,5 на оси абсцисс такая, что прямая t = x_0,5 делит подграфик плотности f_x(t) пополам (на две области равной площади).

Вторая контрольная работа по теории вероятностей
1-й вариант 2000 года
для студентов 1 курса ЭФ

• Случайная величина x имеет показательное распределение с параметром a = 5. Найти функцию распределения (а если существует, то и плотность распределения) случайной величины h = 1-5x. Найти дисперсию h.
• Из урны, содержащей три белых и один черный шар, вынимаются три шара (по одному, с возвращением). Случайная величина x равна количеству черных шаров среди трех вынутых, а случайная величина h задается равенством h = x+1.
  а) Построить таблицу совместного распределения x и h;  б) найти E x, D x, E h, D h;
  в) найти распределение случайной величины x-h и коэффициент корреляции величин x и h;
  г) Нарисовать график функции распределения случайной величины h.
• Случайные величины x и h независимы и обе имеют распределение Пуассона с параметром l = 3. Найти E 2^(x+h-1) и P(x+h < 1,5).
• Случайная величина x имеет плотность распределения

•   Найти P(x < 0,5) и E x².
• Независимые, одинаково распределенные случайные величины x₁, ..., x_n имеют показательное распределение с параметром a = 2. Пусть S_n = x₁+...+x_n. Найти математическое ожидание и дисперсию величин S_n и S_n/n. Найти функцию и плотность распределения случайной величины min{x₁,...,x_n}.
• Случайные величины x₁,...,x_n независимы и имеют нормальное распределение с параметрами a = 2, s² = 9. Пусть S_n = x₁+...+x_n. Какое распределение имеют случайные величины S_n, (S_n/n) - 2, (S_n-2n)/(3Ön) ? Записать плотность