Новый алгоритм и оценка точности определения на судне центра масс по сигналам спутниковых радионавигационных систем, страница 4

Z_Ц^изм =(D_Z/D)(1+dD_Z)/(1+dD) @(D_Z/D)(1+dD_Z -dD)@Z_Ц(1+dD_Z-dD)=Z_Ц+DZ_Ц.

Во  втором частном  определителе D_Z^изм=D_Z+_DD_Z  обусловленное погрешностями второе слагаемое равно

_DD_Z=-8(Dx₁-Dx_–1)Rh_Цsin²(a/2)+4(x₁Dx₁+z₁Dz₁-2x₀Dx₀–2z₀Dz₀+x_-1Dx_–1+

+z _-1Dz _-1)Rsina. Поэтому

dD_Z=_DD_Z/D=(Dx₁-Dx _–1)/(2Rsina) -(x₁Dx₁+z₁Dz₁-2x₀Dx₀–2z₀Dz₀ + x _-1Dx _–1+z _-1Dz _-1)/[4Rh_Ц sin²(a/2)]. 

Учитывая dD из п. 3.2.1 и формулы (6), получим

DZ_Ц=Z_Ц{-[(Dx₁-Dx_–1)Rsina+(Dz_-1-2Dz₀+Dz₁)(R+h_Ц)-(Dz₁+Dz_–1)2R sin²(a/2)]/[4Rh_Ц sin²(a/2)]+(_Dz _-1-2_Dz₀+_Dz₁)/ [4R sin²(a/2)]}    

Наиболее значимая величина в первых квадратных скобках – это второе слагаемое (_Dz_-1-2_Dz₀+_Dz₁)(R+h_Ц), то есть примерно

DZ_Ц»-Z_Ц(Dz_-1-2Dz₀+Dz₁)(R+h_Ц)/ [4Rh_Ц sin²(a/2)]

Учтем, что Z_Ц=h_Ц. Поэтому

 DZ_Ц»(Dz_-1-2Dz₀+Dz₁)(h_Ц/R+1)/[4sin²(a/2)],                                         (8)

где дробь h_Ц/R существенно меньше единицы.  СКВ первой скобки равно  (6^1/2)s_АZ =(2^1/2)s_А и при малых углах a приемлема формула

                           s(h_Ц)»1.4s_А/a².                                                        (9)

При s_А»0,4 см и a=15^о=0,268 радиан и a²=0,0684 получается s(h_Ц)»8,3 см.

3.3. Таким образом первые ориентировоные количественные оценки позволяют полагать, что СКВ местоположения оси вращения в поперечной плоскости  составит около см и  примерно 10 см по высоте. Неблагоприятная ситуация с оценкой высоты ЦМ на практике может только ухудшиться из-за того, что СРНС дает погрешности по высоте, превышающие заметно погрешности по горизонтальной плоскости.

4. Оценка возможностей повышения точности при статистической обработке координат всех  местоопредляемых  точек траектории.

4.1. Прежде всего остановимся на возможностях использования метода наименьших квадратов (МНК). Пусть за некоторый интервал времени в n зафиксированных моментах времени  t_i¹t_j аппаратура потребителя выдает оценки координат  (x_i z_i), (x_j z_j) точек Р_i ,P_j удовлетворяющих (без погрешностей измерений) уравнению окружности (x-Х_Ц)² +(z-Z_Ц)² =R². Из средних точек  всех M возможных хорд можно «восстановить» перпендикуляры. Их уравнения

               Х_Ц2(x_i-x_j)+Z_Ц2(z_i-z_j)=x_i²+z_i²-x_j²-z_j² .                                                (10)   

   При использовании обозначений q_Xij=2(x_i-x_j), q_Zij=2(z_i-z_j), r_ij= x_i²+z_i²-x_j²-z_j² перепишем (аналогично п.3.3 в /4/) систему несовместных уравнений (10) в матричном виде QП=Р, где П – матрица-столбец из двух искомых параметров Х_Ц,Z_Ц,  Р – матрица-столбец из M измеренных величин r_ij,  Q – матрица из двух столбцов и M строк вида  q_Xij  q_Zij .

 В МНК эту систему заменяют системой уравнений начальных погрешностей – разностей e_k между аналитическими функциями (выражающими ожидаемые результаты измерений через искомые параметры) и реальными результатами измерений    QП-Р=e, где e,- матрица столбец из n элементов e_k .                               

     По МНК искомые параметры X_Ц, Z_Ц находятся (подбираются или  аналитически выражаются) так, чтобы минимизировалась сумма

 квадратов погрешностей 

L= e^Т.e = (P-QП)^T(P-QП),          

где, как обычно, верхний индекс «т» обозначает операцию транспонирования матрицы. Приравняв нулю частные производнуе от L по искомым четырем параметрам получим систему четырех линейных уравнений. Решение этой системы после громоздких аналитических выкладок  по-видимому можно  упростить. Решение этой системы после громоздких аналитических выкладок  по-видимому можно  упростить .(В задачах, где элементы матрицы Q не зависят от результатов измерений, а погрешности зависящих от измерений величин одного уравнения некоррелированы с погрешностями таких же величин другого уравнения решение   приводится к виду П=(Q^тQ)^-1Q^тР,  где верхний индекс «-1» обозначает операцию определения обратной матрицы).