Задачи с решениями на тему: "Термодинамические процессы. Теплоёмкость. Работа расширения газа"

2.1.  Теплоёмкость

      2.1.1.Вычислить удельные теплоемкости с_р и с_V гелия He, водорода H₂ и углекислого газа СO₂.

      Решение

      1. Удельные теплоёмкости газов определяются их молярной массой и числом степеней свободы молекул

                                       ,      .                                    (1)

      2. Молярные массы заданных газов: m(He) = 4×10 ^{­ 3} кг/моль; m(H₂) = 2×10 ^{­ 3} кг/моль; m(CO₂) = 44×10 ^{­ 3} кг/моль; i(He) = 3; i(H₂) = 5; i(CO₂) = 6.

      3. Вычислим удельные теплоёмкости

   гелия: ,   ,      (2)

 водорода: , , (3)

      2.1.2. Разность удельных теплоёмкостей некоторого газа c_p ­ c_V равна 260 Дж/кг×К. Определить молярную массу этого газа.

      Решение

      1. Запишем уравнение разности удельных теплоёмкостей

             ,                (1)

и разрешим полученное уравнение относительно молярной массы m

                            .                          (2)

      2.1.3. Определить удельную теплоемкость с_V смеси, состоящей из m₁ = 10 граммов кислорода О₂ и m₂ = 20 граммов азота N₂.

      Решение

      1. Для нагревания смеси газов на DТ требуется количество тепла DQ, определяемое уравнением

                                        ,                                          (1)

где с_V ­ теплоемкость смеси.

      2. С другой стороны, количество тепла, расходуемое на нагревании смеси может быть представлено так

                                      ,                                       (2)

      3. Приравняем правые части уравнений (1) и (2)

                                 ,                                  (3)

где с_V1 ­ удельная теплоёмкость кислорода, с_V2 ­ удельная теплоёмкость азота.

      4. Подставим в уравнение (3) значения удельных теплоёмкостей газов

                             ,                                (4)

где i₁ = i₂ = 5 ­ число степеней свободы молекул газа, m₁ = 32×10 ^{­ 3} кг/моль,

m₂ = 28×10 ^{­ 3} кг/моль ­молярные массы газов.

      5. Разрешим уравнение (4) относительно c_V

                           .                         (5)

      2.1.4. Определить удельную теплоемкость с_р смеси, состоящей из m₁ = 10 граммов кислорода О₂ и m₂ = 20 граммов азота N₂.

      Решение

      1. Воспользуемся уравнением (3) предыдущей задачи и перепишем его следующим образом

                                 ,                                 (1)

где v₁ = m₁/(m₁ + m₂) ­ массовая доля кислорода, v₂ = m₂/(m₁ + m₂) ­ массовая доля азота.

      2. Удельная теплоёмкость смеси с_р можно представить по аналогии с уравнением (1) так

                                 ,                                   (2)

                           ,                        (3)

                                   .                                    (4)

      3. Подставим в уравнение (4) значения характеристик газов: i = 5; m₁ = 32×10 ^{­ 3} кг/моль; m₂ = 28×10 ^{­ 3} кг/моль

      2.1.5. Определить удельную теплоёмкость с_V смеси газов, содержащей V₁ = 5 л атомарного водорода, и V₂ = 3 л гелия, если газы находятся в одинаковых условиях.

      Решение

      1.Выразим массы газов из уравнения Клапейрона ­ Менделеева

                                     .                                   (1)

      2. Подставим далее, полученные значения масс в уравнение (1) задачи 2.1.4

                          .                           (2)

      3. Подставим в уравнение (2) значения удельных теплоемкостей газов с_V1 и c_V2

                         ,

                          ,

                                     ,                                (3)

      4. Подставим значения величин, входящих в последнее уравнение

      2.1.6. Определить удельную теплоёмкость с_р смеси кислорода и азота, если количество вещества  первого компонента равно n₁ = 2 моль, а второго компонента ­ n₁ = 4 моль.

      Решение

      1. Выразим массы газов

                                        .                                       (1)

      2. Подставим значения масс в уравнение (4) задачи 2.1.4

                                    .                                  (2)

      3. Молярные массы газов равны: m₁ = 32×10 ^­3 кг/моль; m₂ = 28×10 ^­3 кг/моль. Кислород и азот состоят из двухатомных молекул, поэтому число степеней свободы равно i = 5

      2.1.7. Определить удельную теплоёмкость с_V смеси азота и аргона, находящихся в одном баллоне, если массовые доли этих газов v₁ и v₂ одинаковы и равны v = 0,5

      Решение

      1. Запишем уравнение (1) задачи 2.1.4 в следующем виде

                                .                            (1)

      2. Молекула азота состоит из двух атомов, поэтому: m₁ = 28×10 ^{­ 3} кг/моль, i₁ = 5, молекула аргона одновалентна ­ m₂ = 40×10 ^­3 кг/моль, i₂ = 3

      2.1.8. Хлор и криптон в атомарном состоянии, взятые в равных объемах, находятся в одинаковых условиях. Определить удельную теплоемкость с_р смеси.

      Решение

      1. Для определения удельной теплоемкости воспользуемся уравнением (1) задачи 2.1.4

 ,

      2. Хлор и криптон имеют следующие параметры: m₁ = 35×10 ^{­ 3} кг/моль, m₂ = 84×10 ^{­ 3} кг/моль, i₁ = i₂ = 3, переписать последнее уравнение следующим образом

      2.1.9. Определить удельную теплоемкость с_V смеси ксенона и кислорода, если количества вещества газов одинаковы и равны n.

      Решение

      1. Выразим массы газов через количества вещества

                                         .                                         (1)

      2. Запишем уравнение удельной теплоемкости смеси газов

                            ,                             (2)

и проведем очевидные преобразования

                            ,                              (3)

                                               ,                                             (4)

где i₁ = 3 число степеней свободы молекул ксенона, m₁ = 0,131×кг/моль ­ молярная масса ксенона, i₂ = 5 ­ число степеней свободы двухатомной молекулы кислорода, m₂ = 32×10 ^{­ 3} кг/моль ­ молярная масса кислорода.

      3. Подставим параметры газов в уравнение (4)

      2.1.10. Степень диссоциации газообразного водорода a = 0,6. Определить удельную теплоемкость c_V  такого частично диссоциированного газа.

      1. Решение

      1. Процесс диссоциации заключается в том, что двухатомные молекулы под действием внешних условий электрического, механического, физического или термодинамического характера, распадаются на отдельные атомы.

      2. Предположим далее, что в исходном состоянии в рассматриваемом объеме содержалось N двухатомных молекул водорода. После диссоциации будет иметь место смесь двух газов: молекулярного и атомарного водорода, причем 40% от общего количества будут составлять двухатомные молекулы, а 60% ­ одноатомные. Пусть масса одного атома водорода равна m₀, в этом случае массы этих газов, составляющих смесь, можно представить следующим образом

      ,       (1)

где М ­ первоначальная масса недиссоциированного водорода