Определение количества газа в колбе. Определение внутренней энергии молекул. Определение среднеквадратичного отклонения математического маятника от положения равновесия

Решим предыдущее уравнение относительно количества вещества

Задача №15

          Внутренняя энергия некоторого газа 55 МДж, причем на долю энергии вращательного движения приходится 22 МДж. Сколько атомов в молекуле этого газа?

Р е ш е н и е

          1.Запишем систему уравнение, определяющую внутреннюю энергию молекул через количество степеней свободы молекул i где N – общее число молекул газа, kB – постоянная Людвига Больцмана, Т – абсолютная температура.

          2.Поделим далее второе уравнение последней системы на первое уравнение чтобы определить число степеней свободы вращательных движений молекулы

          3.Таким образом, молекула некоторого газа 3 поступательных и 2 вращательных степени свободы, т.е. это двухатомная молекула гантелевидного вида.

Задача №24

          Определите среднеквадратичное отклонение математического маятника от положения равновесия, вызываемое тепловым движением грузика. Температура воздуха t=20ºС, масса грузика равна , длина маятника L=10м.

Р е ш е н и е

          1.Приближенно задачу можно решить, полагая грузик маятника материальной частицей, обладающей одной степенью свободы, т.е. i=1. Энергия теплового движения, приходящаяся на 1 степень свободы, и средняя квадратичная скорость определяется как (1)

          2.Определим далее период малых колебаний маятника Т (2)

Таким образом, грузик маятника может двигаться в одном направлении в течении времени Т/4=1,57 с. За 1с грузик маятника отклоняется от положения равновесия на расстояние

 (3)

Максимально возможное сренеквадратичное отклонение определяется из условия (4)

          3.Задачу можно решить, используя модель броуновского движения (5), где (6) подвижность частицы, определяемая законом Стокса через радиус частицы R и коэффициент динамической вязкости ŋ. Для промежутков времени  уравнение (5) упростится (7)

          4.Радиус грузика оценим в предположении, что он изготовлен из стали с плотностью ρ=7800 кг/м³ (8)

          5.Коэффициент подвижности (6) с учетом значений радиуса и коэффициента динамической вязкости воздуха при заданной температуре воздуха  примет значение (9)

          Подставим далее значения B,T и Δt=1c в уравнение (7)

Задача №33

          Найдите среднюю квадратичную <VКВ>, среднеарифметическую <V> и наиболее вероятную скорость Va молекул водорода Н2 при температурах Т1=20К, Т2=5000К.

Р е ш е н и е

          1.Поскольку молекула водорода Н2 состоит из двух атомов, то молярная масса μ=2·10³ кг/моль. Двухатомная молекула водорода имеет 5 степеней свободы i=5.

          2.Искомые скорости молекул при заданных условиях определятся следующими уравнениями:

          Для температуры 20ºК    

          Для температуры 5000ºК   

Задача №43

          Средняя длина свободного пробега атомов гелия при нормальных условиях равна 180 нм. Определить коэффициент диффузии D.

Р е ш е н и е

          1.Определим среднеарифметическую скорость молекулы гелия при нормальных условиях  

          2.Подставим значение среднеарифметической скорости в уравнение для коэффициента диффузии

Задача №58

          Определим работу, совершаемую при расширении 7 кг водорода, находящегося при постоянном давлении и количество переданной ему теплоты, если температура изменилась на ΔT=200ºК.

Р е ш е н и е

          1.Определим количество тепла, переданное водороду при нагревании  где m – масса водорода, i=5 – число степеней свободы двухатомной молекулы водорода, R≈8,3 Дж/К – универсальная газовая постоянная,  – молярная масса водорода, ΔТ – изменение температуры.

          2.Найдем изменение внутренней энергии заданной массы водорода .

          3.Колличество переданного тепла равно сумме совершенной работы и изменения внутренней энергии, т.е.

Задача №61

          Покажите, исходя из первого начала термодинамики и уравнения состояния идеального газа, что разность удельных теплоемкостей