Задания к контрольной работе № 1 по дисциплине "Математика". Образцы решения задач. Вопросы для итогового контроля знаний

Вычислить: а), б) – неопределенный интеграл, в) – определенный интеграл

Задание №7.

Найти частные производные первого и второго порядка.

Задание №8.

 Найти общее решение дифференциального уравнения.

Образцы решения задач.  

Задача №1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера, матричным методом и методом Гаусса.

Решение.

1.) Метод Крамера.

Найдем определитель коэффициентов системы:

Вычислим ,  и :

Следовательно:

Проверка. Подставляя полученные значения корней в уравнения системы, получаем верные равенства:

2). Матричный метод.

Пусть матрица  - матрица коэффициентов системы,  - матрица-столбец переменных,  - матрица-столбец свободных членов.

, , .

решение системы будем искать по формуле . Обратную матрицу найдем по формуле , где  - алгебраическое дополнение элемента , а  - минор элемента . Поскольку . Вычислим алгебраические дополнения:

, , ,

, , ,

, , .

3). Метод Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы преобразуем с помощью элементарных преобразований:

В результате слева получена единичная матрица, а справа - значения соответствующих переменных.

Ответ: .

Задание №2. Исследовать и решить систему линейных уравнений.

Решение.

Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли. Найдем ранг основной матрицы системы  и ранг расширенной матрицы системы .

.

система совместна. А т.к.  (где  - число неизвестных в системе), то система неопределенна и имеет бесконечное множество решений. Выберем переменные  и  в качестве базисных и выразим их через свободную переменную .

 - общее решение.

Фиксируя свободную переменную, можно получить частные решения: , .

Задача №3. Даны координаты вершин : , , Найти:

1. Длину стороны

2. Уравнения сторон  и

3. Уравнение высоты , опущенной из вершины

4. Уравнение медианы  и координаты точки  - точки пересечения этой медианы с высотой

Решение.

1). Расстояние между точками  и  определяется по формуле

.

Ответ:

2). Уравнение прямой, проходящей через точки  и  имеет вид:

.

Последнее уравнение может быть представлено в виде уравнения с угловым коэффициентом: .

.

Ответ: , , , .

3). Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении имеет вид: . Высота . Чтобы найти угловой коэффициент высоты , воспользуемся условием перпендикулярности прямых:

.

Подставляя в формулу координаты точки  и найденный угловой коэффициент высоты, получим ее уравнение:

.

Ответ:

4). Чтобы найти уравнение медианы , определим сначала координаты точки  - середины стороны . Формулы для нахождения координат середины отрезка:

.

Подставляя координаты найденной точки  и точки  в уравнение , получаем искомое уравнение медианы . Чтобы найти координаты точки пересечения высоты  и медианы , решим систему  уравнений:

Ответ: , .

Задача №4. Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение.

а). . Применим метод деления числителя и знаменателя на  в наивысшей степени:

б). . Применим метод разложения числителя и знаменателя на множители:

в). . Применим метод домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение:

г). . Применим тригонометрическую формулу  и первый замечательный предел .

д). В процессе решения воспользуемся вторым замечательным пределом

Задача №5. Найти производную функции.

Решение.

а). . Воспользуемся формулой производной произведения двух функций .

б). . Воспользуемся формулой производной частного двух функций  и формулой производной сложной функции .

Задача №6. Исследовать на экстремум функцию одного аргумента.

Решение. Находим первую производную функции по формуле  и используем необходимое условие экстремума  для определения точек «подозрительных» на экстремум:

Исследуем полученные точки и поведение функции, определяя знак первой производной слева и справа от каждой точки. Для наглядности результат представим в виде таблицы.

В первой строке указаны интервалы, на которые область определения функции разбивается точками  и сами эти точки. Во второй строке указаны знаки производной в интервалах монотонности. В третьей строке производится заключение о поведении функции в точках и на интервалах. Т.о. из таблицы следует, что  - точка минимума, . Точка  не является точкой экстремума, поскольку в ней не определена функция. Точка  также не является точкой экстремума, т.к. при переходе через нее первая производная сохраняет знак.

Ответ:

Задание №7. Вычислить: а), б) – неопределенный интеграл, в) – определенный интеграл

Решение.

а). . Воспользуемся методом замены переменной.

б). . Воспользуемся методом интегрирования по частям , применяя эту формулу дважды