Поняття про корелатний спосіб зрівнювання. Спрощене зрівнювання центральної системи, страница 4

де [aa]=3.

Із (58) маємо (59):

У випадку вирівнювання повинна задовольнятися вимога (60):

Відомо, що (61)

Звідси (62):

Підставивши у формулу (62) замість m його граничне значення, отримаємо граничне значення вільного члена (63):

Зауважимо, що в мережі тріангуляції величину m можна обчислити за формулою Ферраро (64):

де n - кількість трикутників.

Виводячи граничне значення вільного члена горизонту маємо (65):

У загальному випадку умовне рівняння полюсу має вигляд (66):

Нормальне рівняння (67):

Для дирекційних кутів умовне рівняння (68):

Нормальне рівняння (69):

де [aa] = n.

Із врахуванням цього (70):

Базисне умовне рівняння має вигляд (71):

Нормальне рівняння (72):

Або із врахуванням помилок вихідних сторін (73):

Координатне умовне рівняння абсцис має вигляд (74):

або, позначивши коефіцієнти при поправках відповідно А₁, А₂,..., А_n, маємо (75):

звідси нормальне рівняння (76):

Із врахуванням помилок вихідних координат (77):

Аналогічно для умовного рівняння ординат (78):

де В – коефіцієнт при поправках в умовному рівнянні ординат.

Підрахунок кількості умовних рівнянь

Розглянемо рис. 10. Нехай на місцевості зафіксовано дві точки А і В. З рисунку видно, що для визначення положення Р1 достатньо виміряти два кути 1 і 2. Відклавши величини цих кутів у перетині напрямів із пунктів А і В, знайдемо положення пункту Р₁. Вимір кута 3 у пункту Р₁ буде надлишковим і це призводить до виникнення умови фігури. Для знаходження наступної точки Р₂ необхідно виміряти два кути (4, 5) у пунктах А і Р₁. За методом, наведеним вище, отримаємо положення пункту Р₂.

Вимір кута 6 у пункту Р₂ є надлишковим. Таким чином, якщо в мережі кількість усіх вимірів - N, n - число всіх пунктів в мережі, кількість умовних рівнянь (надлишкових вимірів) S дорівнюватиме (79):

Рис. 10 Мережа з надлишковими вимірами

Якщо в мережі буде е надлишкових вихідних даних, то (80):

Методика розв'язання умовних рівнянь способом найменших квадратів подається у курсі "Математична обробка геодезичних вимірів". Ми розглянемо лише оцінку точності вирівняних величин.

Оцінка точності вирівняних величин

Для оцінки точності мережі тріангуляції обчислюють середню квадратичну помилку кута, вага якого прийнята за одиницю. З метою оцінки точності окремих елементів мережі складають вагові функції для цих елементів. Як правил, вагову функцію складають для "найслабшого" елемента мережі. Таким "найслабшим" елементом є елемент найбільш віддалений від вихідних пунктів. Розглянемо мережу тріангуляції (рис. 11).

Рис 11. Рисунок для складання вагової функції

Нехай виміри на всіх пунктах мережі є рівноточними. Оцінимо "найслабшу" сторону. Такою стороною у цьому випадку є сторона CD. Вагова функція для цієї сторони буде (81):

знаходять обернену вагу.

У цій формулі f, a, b - відповідні коефіцієнти при поправках вагової функції першого та другого умовних рівнянь.

Середню квадратичну помилку одиниці ваги обчислюють за формулою (82):

де v – поправки у результаті вимірів,

     r – кількість умовних рівнянь.

Тоді середню квадратичну помилку сторони CD обчислюють за виразом (83):

На практиці від абсолютної помилки m_SCD переходять до відносної m_CД/S_СД, яку порівнюють із граничною 1/Т для даного класу тріангуляції.