Основы булевой алгебры. Составление логической функции. Преобразование логических функций

13 Основы булевой алгебры

13.1 Составление логической функции

В цифровой технике задачи формируются чаще всего в виде таблицы переключений (или таблицы истинности), когда известные входные сигналы и соответствующие им выходные. Для решения задачи необходимо найти такую логическую функцию, что бы она соответствовала таблице истинности. После нахождения соответствующей логической функции проводится упрощение полученной функции и проектируется схема.

Логическая функция записывается как правило в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ), полученной по следующему алгоритму:

-  В таблице истинности выделяются строки, в которых выходная переменная равна 1;

-  Для каждой такой выделенной строки составляют конъюнкцию всех входных переменных, записывая Xi, если переменная принимает значение 1 и , если переменная принимает значение 0.

-  Записывают логическую сумму всех полученных произведений и получаем искомую логическую функцию;

-  Проводится упрощение полученной логической функции;

-  Проектируется схема.

Рассмотрим пример проектирования схемы на основании таблицы истинности.

          Выбираем строки, в которых значение выходного сигнала равно единице и составляем конъюнкцию всех входных переменных

К3=

К5=

К7=

Искомая функция записывается в виде дизъюнктивной нормальной формы:

Y=K3+K5+K7=++

13.2 Преобразование логических функций

При всей сложности цифровых устройств, они основаны на принципе многократного повторения простых базовых схем. Связь между схемами строятся на основе формальных методов. Инструментом такого построения служит булева алгебра, которая в цифровой технике называется также алгеброй логики. В алгебре логики переменная имеет два значения, которые называются логической единицей и логическим нулем. Между логическими переменными существуют три основные операции: конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение), инверсия (логическое отрицание).

В алгебре логики используются следующие обозначение операций:

-  Конъюнкция – Y=X1ÙX2=X1*X2=X1X2;

-  Дизъюнкция Y=X1ÚX2=X1+X2;

-  Инверсия Y=

Рассмотрим свойства основных логических элементов:

1)  Операции с 0 и 1

2)  Правило отрицания

3)  Правило двойного отрицания

-  =X

4)  Коммутативный закон

-  X1ÙX2=X2ÙX1;

-  X1ÚX2=X2ÚX1

5)  Ассоциативный закон

-  X1*(X2*X3)=(X1*X2)*X3;

-  X1+(X2+X3)=(X1+X2)+X3

6)  Дистрибутивный закон

-  X1*(X2+X3)=X1*X2+X1*X3;

-  X1+X2*X3=(X1+X2)*(X1+X3)

7)  Правило склеивания

-  X1*(X1+X2)=X1;

-  X1+X1*X2=X1

8)  Правило повторения

-  X1*X1=X1;

-  X1+X1=X1

9)  Теорема де Моргана

-  =+

-  =*

-