Метод наискорейшего спуска решения задач нелинейного программирования, страница 2

Подставляя значения x₁⁽⁰⁾ = 6, x₂⁽⁰⁾ = 8, а также только что определенные значения x₁⁽¹⁾ и x₂⁽¹⁾ в (11), получим:

(2*6-2)(2*(6-10*g₁)-2) + (4*8-8)(4*(8-24*g₁)-8) = 0
10(10-20*g₁) + 24(24-96*g₁) = 0
100-200*g₁ + 576-2304*g₁ = 0
-2504*g₁ = -676

Тогда g₁ = 0.27.

Определим, используя найденное значение g₁, координаты точки на 1-ом шаге:

x₁⁽¹⁾ = 6-0.26*10 = 3.3
x₂⁽¹⁾ = 8-0.26*24 = 1.52

Проверим выполнение условия (12):

e

Поскольку условие (12) не выполняется, перейдем ко 2-му шагу (k=2), исходной точкой которого будет = (3.3;1.52). В соответствии с (9),(10) можно записать:

x₁⁽²⁾ = x₁⁽¹⁾- g₂(2 x₁⁽¹⁾-2)= 3.3 - g₂(2*3.3-2) = 3.3 - g₂*4.6;
x₂⁽²⁾ = x₂⁽¹⁾- g₂(4 x₂⁽¹⁾-8) =1.52 - g₂(4*1.52-8) = 1.52+g₂*1.92.

Подставляя значения x₁⁽¹⁾ = 3.30, x₂⁽¹⁾ = 1.52, а также только что определенные значения x₁⁽²⁾ и x₂⁽²⁾ в (11), получим:

(2*3.3 - 2)(2*(3.3 - 4.6g₂) - 2) + (4*1.52 - 8)(4*(1.52 + 1.92g₂) - 8)  =

= 4.6(4.6 - 9.2g₂) + (-1.92)(-1.92 + 7.68g₂) = 0,

откуда g₂ = 0.436. Определим, используя найденное значение g₂, координаты точки на 2-ом шаге согласно (9),(10):

x₁⁽²⁾ = 3.30 - 0.436*4.6 = 1.29,
x₂⁽²⁾ = 1.52 + 0.436*1.92 = 2.36.

Проверим выполнение условия (12):

e.

Поскольку условие (12) не выполняется, перейдем к 3-му шагу (k=3), исходной точкой которого будет  = (1.29;2.36). В соответствии с (9),(10) можно записать:

x₁⁽³⁾ = x₁⁽²⁾ -  g₃(2 x₁⁽²⁾-2) = 1.29 - g₃(2*1.29-2) = 1.29 - g₃*0.58,
x₂⁽³⁾ = x₂^{(2 )}-  g₃(4 x₂⁽²⁾-8) = 2.36 - g₃(4*2.36-8) = 2.36 - g₃*1.44.

Уравнение (11) для определения g₃ примет вид

(2*1.29 - 2)(2*(1.29 - 0.58g₃) - 2) + (4*2.36 - 8)(4*(2.36 - 1.44g₃)-8) =

= 0.58(0.58 - 1.16g₃) + 1.44(1.44 - 5.76g₃) = 0,

откуда g₃ = 0.28.

Тогда координаты точки в конце третьего шага будут иметь значения:

x₁⁽³⁾ = 1.29-0.28*0.58 = 1.13,
x₂⁽³⁾ = 2.35-0.28*1.44 = 1.96.

Проверим выполнение условия (12):

e.

Таким образом, заданная точность определения координат точки посадки достигнута на 3-ом шаге оптимизации, а оптимальным решением является  = (1.13;1.96). В этом случае минимальный расход горючего будет равен:

Для удобства проведения расчетов в процессе поиска минимума целевой функции методом наискорейшего спуска целесообразно пользоваться таблицей вида:

Варианты исходных данных.