Ударные волны. Распространение волн сжатия, страница 2

.                                                                                  (2.12)

Подставляя в (2.12) выражение  и  =  через М₀² из (2.9) получим

                                  (2.13)

Рассмотрим случай «слабых» ударных волн, т.е. М₀ ~ 1. Представим , где d - малая величина из (2.13) будем иметь:

Разложим логарифм по малой величине d  с точностью до третьего порядка малости: ln(1+х) = х -  +  и в результате получим

.                                                                                       (2.14).

Выражение (2.14) можно представить в более привычном виде через перепад давления или плотности на УВ. Из (2.9)

 (М₀² – 1) = d, аналогично d и (2.14) запишется:

 =                                    (2.15).

Из (2.15) видно, что энтропия растет только в волнах сжатия , а существование ударных волн разрежения невозможно: при  и Dr<0 DS<0, что термодинамически невозможно. Как мы уже видели, для  невязкого и нетеплопроводного газа ударная волна представляет собой разрыв. Наличие вязкости и теплопроводности приводит к размазыванию УВ. Оценим эффективную «толщину» ударного перехода, для плоской стационарной УВ.

Исходная система уравнений есть:

                                                                                                    (2.16),

                                                                  (2.17),

                                 (2.18).

Рассмотрим уравнение импульсов (2.17) при m = соnst

, откуда следует оценка

.                                                                                                    (2.19)

Пусть УВ бежит с постоянной скоростью по неподвижному газу тогда  и из (2.19) имеем l ~  откуда для  (l - длина свободного пробега,  - средняя скорость теплового движения молекул) и с учетом того, что для сильной УВ , а  ~ с = D получим  

 l~ l,                                                                                                                (2.20),

т.е. толщина фронта УВ сравнима с длиной пробега молекул. Поскольку коэффициент теплопроводности  и , (что отображает общую природу явлений вязкости и теплопроводности) то очевидно результат «размазывания» УВ за счет теплопроводности будет того же порядка, что и за счет вязкости. На уровне оценок это можно непосредственно получить из уравнения энергии, если пренебречь в нем вязким членом.

Используем полученные результаты для решения одной практически интересной задачи, связанной с распадом произвольного разрыва. Рассмотрим трубу, разделенную перегородкой и каждая половина заполнена разными газами, находящимися при различных давлениях . В начальный момент перегородка мгновенно убирается. Из самых общих соображений видно, что вправо будет распространяться ударная волна, а влево волна разрежения. Условная  диаграмма процесса в переменных р, х представлена на рис. 2.4. Здесь  – давление в камере высокого давления и соответственно  – низкого, начальный момент времени, некоторый текущий момент времени, кп - контактная поверхность.

           Для простоты предположим, что возникающая ударная волна сильная . Очевидно, что в начальный момент этому условию будет соответствовать . В этом приближении можно считать, что газ в волне разрежения истекает в вакуум и скорость истечения равна максимальной скорости:

                                                                                                   (2.21).

В силу непрерывности течения поток газа в волне разрежения на контактной поверхности должен непрерывно «смыкаться» с потоком газа за фронтом УВ, которую также будем считать сильной. Тогда из (2.6) следует выражение для скорости УВ через скорость потока за фронтом УВ  и после подстановки туда  получаем окончательно для скорости ударной волны

                                                                                                       (2.22),

где скорость звука .

Рассмотренная нами система называется ударной трубой. Совершенно очевидно, что для получения больших скоростей ударных волн, создаваемых таким способом, в качестве толкающего газа (область высокого давления) нужно выбирать легкий или (и) сильно нагретый газ, что обеспечивало бы большую скорость звука, (например водород, гелий). С другой стороны, при фиксированной скорости «толкающего» газа наибольшие числа Маха У.В. будут получены в тяжелых газах, имеющих относительно малую скорость звука. Если толкающий газ высокого давления водород (с = 1300 м/с), а газ низкого давления – воздух (с = 340 м/с), то максимальный Мах УВ и температура за фронтом УВ составит » 30000 К (без учета потерь на диссоциацию, ионизацию и излучение), реально же она составит ~ 13000 К. Таким образом предельные оценки указывают на возможность получения в схеме распада произвольного разрыва УВ с очень высокой температурой газа за фронтом. Этот принцип послужил, как я уже сказал, основой создания установок для получения ударных волн – ударных труб. Они получили широкое распространение как простой способ исследований физико-химических свойств различных веществ (уравнений состояния, спектральных характеристик, переносных коэффициентов (теплопроводности, вязкости, проводимости) и т.п., а так же как метод изучения механизма и определения многих неравновесных молекулярных процессов в физической и химической кинетике. Кроме того, ударные трубы используются в качестве импульсных аэродинамических труб для исследования сверхзвукового обтекания различных тел высокотемпературным потоком газа.