Степени свободы и обобщенные координаты, страница 3

Если следить за  D v_A , D v_B с течением  времени, то отношение изменений скоростей, взятых в одни и те же последовательные моменты времени   D v_A / D v_B = const. Множество экспериментов, поставленных над изолированными телами, убеждают, что:

D v_A / D v_B = m_B  / m_A , где m_A  , m_B массы тел. Последнее соотношение переписывается в виде:

m_A (v_A2 - v_A1) = - m_B (v_B2 - v_B1), или m_A v_A2 + m_B v_B2 =  m_A v_A1 + m_A v_B1.

Заменяя произведение m v  импульсами тел, получаем:

p_A2 + p_B2 = p_A1 + p_B1 ,  p_A + p_B  = const     p₁ = p₂                           (n)

Сумма импульсов тел до и после взаимодействия одинакова. По определению сумма векторов импульсов тел есть вектор полного импульса изолированной системы. При получении соотношения (n) никаких ограничений на характер взаимодействия не делалось. Требовалось лишь только, чтобы систе5ма частиц была изолированной. 

Импульс изолированной системы сохраняется. Приведенное утверждение является выражением фундаментального закона сохранения импульса. Этот фундаментальный закон справедлив и в релятивистской динамике.

Сила. Второй закон Ньютона.

В действительности не всегда система частиц изолирована, свободна от действия внешних источников взаимодействия. В этом случае импульс может не сохраняться. И наоборот, если существует изменение импульса, то существует взаимодействие, мерой интенсивности которого является скорость изменения импульса:

dp /dt = F ,

Если масса не меняется, то последнее соотношение можно переписать в виде:

 m  dv /dt = F .

Скорость изменения импульса равна силе.  Это есть второй закон Ньютона. Сила может зависеть от взаимного положения тел, их скоростей, времени, в общем случае сила представляет собой функцию:

F = F ( r, v, t )

Окончательно, в наиболее общем случае:

dp /dt = = F ( r, v, t )                     (2)

Уравнения II –го закона Ньютона являются основными уравнениями классической динамики. Они называются уравнениями движения. Уравнения (2) позволяют определить зависимость координаты частицы от времени r = r (t). Поскольку эти уравнения являются дифференциальными уравнениями второго порядка по времени, то нахождение решений x = x(t), y = y(t), z = z(t) требует двукратного интегрирования. Очевидно, что для нахождения общего решения необходимо задать набор начальных данных  - начальные значения координат x, y, z при t = 0 , а также начальные скорости  . Приведенное утверждение называется принципом причинности – для определения координат и скоростей в последующие моменты времени необходимо знать координаты, скорости, силу в предыдущий момент.

Интегрирование уравнений движения.

Пример. Рассмотрим одномерное движение при условии, что сила F ||  x. Пусть сила меняется по гармоническому закону . (см. рис.  )

Интегрируем уравнение движения первый раз

находим:

,  где - константа интегрирования.

Зададим для простоты  при t = 0. Тогда при таком значении начальной скорости

получаем , . Интегрируя еще раз находим:

,

Положим x (0) = 0, тогда , следовательно . Окончательно:

, , . Графики x (t), v (t) приведены на рис. 22.

Допустим, что движение ограничено некоторым максимальным смещением  l < x_max . Столкновение частицы со стенкой произойдет в момент времени x (t₀) = l = . Выражая из этого уравнения t₀,,  получаем:

Виды сил.

Все действующие в природе силы порождаются некоторыми фундаментальными видами взаимодействий. Фундаментальными - означает, что их невозможно свести ни к каким иным. Так, если рассматривать с помощью точных физических приборов механизм действия сил трения, то окажется, что трение является проявлением действия электромагнитных сил. Аналогично, силы упругости вовсе не являются фундаментальными, т.к. они являются следствием действия электромагнитных сил.

В настоящее время считается, что существует 4 вида фундаментальных взаимодействий – в порядке убывания их характерных констант – «интенсивности»  сильное (ядерное), электромагнитное, слабое, гравитационное. Каждое из этих взаимодействий характеризуется соответствующим безразмерным параметром, называемым константой связи. Численное значение константы определяет интенсивность взаимодействия.