Распространение быстрых заряженных частиц через вещество (Глава 10 учебного пособия), страница 2

                                   (10.16)

где .

Для расчета интеграла в (10.16) воспользуемся следующими соображениями. Рассмотрим бесконечный цилиндр радиусом и применим к нему теорему Гаусса, предполагая, что при х = 0 в центре находится заряд Ze:

Учитывая, что , получим

                                              (10.17)

Величина переданной энергии оценивается

                                        (10.18)

В указанном приближении потери энергии можно представить в виде

      (10.19)

Найдем пределы интегрирования и .

Рассмотренная модель предполагала неподвижный заряд, на котором рассеивается пролетающая частица. Это означает, что за время взаимодействия  электрон в атоме должен оставаться неподвижным, т.е. .

В п. 1.1 было показано, что классическая частота вращения электрона в атоме порядка частоты излучаемого атомом фотона, т.е. . Отсюда получаем .

Отметим, что если ранее решение не зависело от приближения скорости частицы к скорости света с, то при нахождении это имеет принципиальное значение. Распределение поля зависит от скорости. С увеличением  поле сжимается и оказывается локализовано в области  , где , что приводит к уменьшению времени взаимодействия . В релятивистском случае

                                             (10.20)

При нахождении  учтем, что  и

                                          (10.21)

Отметим, что во всех рассмотренных выражениях фигурирует масса рассеянного электрона, так как динамика рассеяния определяется приведенной массой, которая определяется легкой частицей.

Для оценки  необходимо также учитывать, что электрону не может быть передана скорость более , т.е. энергия . Подставляя  в (10.18), получим в нерелятивистском случае

                                            (10.22)

В релятивистском случае, приравнивая переданный импульс  к его значению в (10.17), получим

                                            (10.23)

Очевидно, что  определяется из условия  Причем, учитывая

видим, что при определяется квантовыми эффектами (10.21).

Таким образом, окончательно получим

                             (10.24)

Подчеркнем, что в (10.24) не входят масса и энергия налетающей частицы, т.е. потери энергии, как и в (10.14), определяются только скоростью.

Для рассеяния электронов в ультрарелятивистском случае при точном расчете можно получить

Следовательно, при большой анергии потери возрастают .

Кратко подытожим сравнительные потери электронов и протонов. В нерелятивистском случае:

1.При одинаковых скоростях

2. При одинаковых энергиях потери протонов в раз больше.

При  потери определяются значением параметра под знаком логарифма и практически не зависят от энергии. Так, при Е = 10 ГэВ имеем

т.е. различие масс практически не играет роли.

10.4. Потери пучка частиц

Ранее в п. 10 были рассмотрены потери энергии на единицу пути одной частицы без учета ее реальной траектории в веществе. При анализе движения пучка необходимо учитывать эффект рассеяния, т.е. тот факт, что траектории электронов не будут прямолинейны. Зависимость числа частиц, прошедших через слой вещества толщиной х, для электронов (е) и тяжелых частиц (р) качественно показаны на рис. 9.

Тяжелые частицы мало рассеиваются, и все проходят толщину, равную пробегу . Для электронов из-за рассеяния, в том числе и на большие углы, число частиц монотонно убывает с расстоянием. Поэтому для электронов вводятся две величины: максимальный пробег и средний пробег. Как было показано, удельные потери резко возрастают при уменьшении скорости.

Учитывая, что число тяжелых частиц с расстоянием не уменьшается, то ионизационные потери нарастают (рис. 10). Для электронов подобного пика не наблюдается. С ростом энергии удельные потери на расстоянии  сначала убывают , а затем при  нарастают .