Определение характеристик атомов и молекул по кинематике парных столкновений

 

(Ландау, Краткий курс: Квант. мех., Глава IX)

Постановка задачи

В целом столкновение частиц – это задача теории рассеяния частиц

Классическое рассмотрение столкновения

(Ландау, Механика)

·  Система центра масс:

 m – приведенная масса,

q - угол отклонения ( в СЦМ),

U(r) - поле неподвижного рассеивающего центра,

z-ось – направление движения рассеиваемой частицы.

·  Формула Резерфорда

Квантовомеханический подход

·  Частица до столкновения описывается плоской волной    ,

·  Импульс ,

·  Рассеянная частица описывается расходящейся сферической волной ,

 – неизвестная функция угла рассеяния q (амплитуда рассеяния), ее определение является основной задачей теории рассеяния

Сечение рассеяния

дифференциальное сечение рассеяния –

отношение плотности рассеянных частиц к плотности падающих

       (**)

Таким образом, задача рассеяния сводится к нахождению f(q).

Изменяется только импульс микрочастицы, но не энергия

Борновское приближение: U(r) как возмущение

 

 Воспользуемся золотым правилом Ферми –определение вероятности перехода  между состояниями непрерывного спектра

                      (*)

в качестве «интервала»  состояний берем элемент объема

ВФ налетающей частицы пронормируем так, чтобы поток вероятности был равен единице

                        (&)

Для рассеянной частицы учтем выбранный  интервал

                       (&&)

Проинтегрировав (*),  снова получим формулу Борна

    (***)

здесь введен вектор с абсолютной величиной

Центрально-симметричное возмущение

Переход к сферическим координатам  даст

.

Тройной интеграл от ВФ (&) и (&&) в (***) легко преобразуется в выражение для амплитуды рассеяния:

                  (****)

Предельные случаи

Пусть а – размер локализации поля.

 – малые скорости,

что позволяет заменить в (****)  и тогда амплитуда рассеяния

Рассеяние изотропно и не зависит от скорости (!).

 – большие скорости.

Рассеяние резко анизотропно и направлено вперед в узком конусе с углом

т.к. только в этом интервале углов q будет небольшой величиной, такой чтобы значение sin не осциллировало.

Вне этого конуса под интегралом (****) будет быстро осциллирующая функция умноженная на медленно меняющийся потенциал U(r) и, следовательно, среднее значение будет равно нулю.

 

Здесь можно использовать лабораторную систему, т.к. масса атома >> массы электрона.

Потенциал рассеивающего центра (атома)

,                  (ÿ)

Атом водорода

Однако аналитически волновая функция  известна лишь для немногих атомов, в частности, для атома водорода для 1s состояния

Подставляя в  ÿ можно показать, что ДС в зависимости от q определяется выражением

,

где .

 

Полное (интегральное) сечение

Предельные случаи :

 – медленные электроны

 – быстрые электроны

Приближенные виды (модельные потенциалы)

 

Шары  

Точечные центры

 

Потенциал Сазерленда

Потенциал Ленарда-Джонса

(Ландау, §148)

Постановка задачи

Борновское приближение

Потеря энергии – любая

Атом переходит из основного состояние в возбужденное дискретное или непрерывное (ионизация)

Вероятность перехода, золотое правило Ферми

                   (&),

где

Потенциальная энергия рассеивающего центра (атома)

Интегрирование по модулю p’ в (&) даст ДС с возбуждением не n-ый уровень

Используя волновые функции , получим

,

где  – элемент конфигурационного пространства всех электронов атома;

 – элемент объема, определяемый координатами налетающего электрона

Можно показать, что (Ландау III)

 

Применив это выражение, получим для ДС

где произведены замены .

Вектор () – импульс, передаваемый атомному электрону.

Анализ соотношения  (***)

1)   малые q, т.е., тогда

получим

Полное сечение

2)    нужно учитывать обменные эффекты, связанные с тождественностью частиц

Для позитрона

Полное сечение

Постановка задачи

ион массой М, зарядом Z и скоростью  рассеивается на атоме

Воспользуемся общей формулой (***)

1. 

2. 

Полное сечение