Математика \ Математический анализ

Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами, страница 2

Решение. 1). Характеристическое уравнение имеет двукратный корень , поэтому . 2). Здесь . Так как a = –5 является корнем характеристического уравнения кратности k = 2, то частное решение НЛДУ ищем по формуле (6.13¢): . Тогда , .

Подставляя и в исходное уравнение, получим , откуда и . Общее решение исходного НЛДУ: .

Пример 9. Найти общее решение уравнения .

Решение. 1). Характеристическое уравнение имеет корни , , поэтому . 2). Здесь . Характеристика не является корнем характеристического уравнения; для определения частного решения используем рекомендацию (6.14). Определим m: и , таким образом, . Найдем и и подставим и в заданное уравнение; получим, собрав в левой части отдельно члены при cosx, отдельно при sinx:

. Сравнивая отдельно выражения при cosx и при sinx слева и справа, придем к системе уравнений:

Решая, получим и частное решение . Общее решение запишется по формуле (6.7): .

Пример 10. Проинтегрировать уравнение .

Решение. 1). Найдем общее решение соответствующего ОЛДУ: , , . 2).Частное решение уравнения (1) следует искать в виде (6.14¢), так как характеристика является простым корнем характеристического уравнения :.

Подставляя в уравнение (1), получим: , откуда и . Для уравнения (2) имеем - используем формулу (6.14), ибо здесь не является корнем характеристического уравнения. Подставляя в (2), найдем , так что . Используя формулу (6.7) и принцип суперпозиции частных решений, запишем общее решение НЛДУ: .

Пример 11. Найти общее решение НЛДУ .

Решение. 1). Характеристическое уравнение имеет корни , так что . 2).Здесь и так как характеристика является простым корнем характеристического уравнения, частное решение надо искать в виде (6.14¢): ; тогда , . Подставляя и в исходное уравнение и сокращая на , получим ,откуда и . Общее решение НЛДУ: .

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать на линейную зависимость в области их совместного определения системы функций:

124. ; 125. 126. ; 127.; 128. ; 129. . 130. ; 131. ;

132. ; 133. .

В задачах 134-139 найти определитель Вронского для указанных систем функций:

134. ; 135. 136. 137. 138.

139. .

По заданной ФСР ОЛДУ составить это уравнение:

140. 141. 142. 143. 144.

145. 146. 147. .

Найти общее решение ОЛДУ, если известно одно частное решение:

148. ; 149.

150. 151. ;

152.

153.

154.

В нижеследующих НЛДУ, зная одно частное решение соответствующего ОЛДУ и угадав некоторое частное решение НЛДУ, либо применив метод вариации произвольных постоянных, найти общее решение:

155. 156.