Изменение скорости спонтанного излучения атома в замкнутом пространстве (Раздел 3.4. учебного пособия), страница 2

2.  — атом в нижнем состоянии с . Осциллятор в первом возбужденном состоянии, стенки не возбуждены. Энергия этого состояния , где  — собственная частота резонатора.

.

3.  — атом в нижнем состоянии, осциллятор в основном состоянии, стенки поглотили фотон с частотой . Энергия этого состояния .

Волновую функцию системы  ищем в виде суперпозиции указанных волновых функций:

.

Поскольку стенки могут поглотить любой фотон, то третье состояние является фактически набором состояний. Для нахождения коэффициентов А(t), B(t) и  решается уравнение Шредингера методом теории возмущений:

,                                          (179)

где учитывается, что основные волновые функции являются собственными функциями операторов  и ортогональны между собой.

В результате имеем

;

;           (180)

.

В этих уравнениях U и  - матричные элементы операторов возмущений

,                             (181)

 — учитывает начальное состояние системы, атом в возбужденном состоянии возникает в момент времени t = 0.

Отметим, что операторы  не диагональны в выбранном представлении

;                                       (182)

Система (180) решается методом преобразования Лапласа. Не останавливаясь на деталях, рассмотрим результаты решения.

1 случай. Вначале рассмотрим частный случай взаимодействия атома с континуумом осцилляторов поля свободного пространства. Тогда  и собственные значения  равны , соответствующие плоским волнам c плотностью фотонов  с волновым вектором  и поляризацией . В волновой функции должен появиться дополнительный совокупный индекс .

Предположим, что взаимодействие атома с полем дипольное

.

Для вычисления матричных элементов оператора взаимодействия  используется стандартная техника квантовой электродинамики (см. раздел 3.1), то есть поле разлагается в ряд по плоским волнам (127). Задача вычисления  связана с вычислением матричных элементов типа  (см. (138,139), где операторы , являясь коэффициентами разложения поля (127), имеют матричные элементы, отличные от нуля только при переходах, связанных с рождением для  и гибели (для ) фотонов (137).

Окончательно имеем

;

,                  (183)

где.

Вероятность спонтанных переходов в единицу времени  определяется соотношением:

.                            (184)

Распределение испущенных фотонов по частоте

,                  (185)

где — плотность состояний в пространстве.

Таким образом, как вероятность излучений (184), так и ширина спектра (185) совпадают с полученными ранее (142,156).

2 случай. Затухание энергии в резонаторе A(t) = 0. (Атом не участвует в задаче). В начальный момент резонатор находится в первом возбужденном состоянии, а поглотитель (стенка) — в основном (не возбужденном) состоянии.

Решение системы (180) очевидно

,                          (186)

где

,

 — плотность состояний в поглотители,  — сдвиг частоты резонатора.

Величина  определяет добротность резонатора .

3 случай. Скорость спонтанного распада атома в резонаторе. В задаче существует две константы скорости: и , определяющие затухание поля в резонаторе и распад атомной системы .

В предположении , из решения системы (180) получим

.                       (187)

Видно, что при  из (187) следует формула (177), то есть вероятность возрастает в  раз . Но из (187) так же следует, что при наличии расстройки между  и  спонтанное излучение резонатора сильно подавляется. Так, при  вероятность уменьшается, по сравнению с резонансным случаем, в  раз, а по сравнению с вероятностью спонтанного излучения в свободном пространстве, в  раз .

Спектр излучения атома имеет лоренцовский профиль с шириной . В противоположном случае  спектральное распределение состоит из двух пиков с полушириной , сдвинутых относительно центра  на расстояние . Физическая интерпретация этого явления состоит в том, что при  фотон, испущенный атомом, снова им поглощается с большей вероятностью, чем стенкой. При  связанная система двух осцилляторов имеет два значения частот .