Дифференциальное исчисление. Алгебраические числовые системы

Дифференциальное исчисление. Лекции.

I.  Алгебраические числовые системы.

1. Множества.

Под множеством будем понимать любую совокупность элементов, называемых элементами множества.

Множество с конечным числом элементов может быть описано путём явного перечисления всех элементов. Эти элементы заключаются в фигурные скобки. Например, множество состоит из первых пяти натуральных чётных чисел. Множества будем обозначать прописными буквами некоторого алфавита, элементы множества – строчными. Для некоторых важных множеств приняты стандартные обозначения, например  - числовые множества натуральных, целых, дробных и действительных множеств соответственно.

            Если  - элемент множества , то будем говорить, что  принадлежит , и записывать .  В противном случае  не принадлежит  и пишется .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что  является подмножеством множества  и пишут  (читается:  принадлежит ,  содержится в ), если выполняется условие . Два множества называются равными если они содержат одни и те же элементы.  и . Если  и , то пишут  (читается:  строго содержится в ,  строго принадлежит ).

Рассматривают пустое множество, не содержащее элементов. Оно обозначается . По определению  является подмножеством любого множества.

Для выделения подмножества  множества  часто используют некоторое условие или свойство, присущее только элементам множества . Например:  

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пересечением двух множеств  и  называется множество и.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Объединением двух множеств  и  называется множество или.

Операции пересечения и объединения удовлетворяют следующим тождествам:

,  (коммутативность);

,  (ассоциативность);

 (дистрибутивность пересечения);

 (дистрибутивность объединения).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностью множеств  и  называется множество и. Если , то множество \ называется дополнением  в  и обозначается .

Пусть и - это множества. Пару  такую, что  и  , взятую в данном порядке, будем называть упорядоченной парой. Считается, что и .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Декартовым произведением двух множеств и  называется множество всех упорядоченных пар

. Аналогично можно определить декартово произведение любого конечного числа множеств .

Если множество состоит из конечного числа элементов, то число называют мощностью множества и пишут или. Пусть , . Тогда .

            2. Отображения.

            Пусть и - множества. Отображение с областью определения и областью значений, содержащейся в , сопоставляет каждому элементу  единственный элемент . Символически это записывается так:  или .