Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Глава4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

4.1. Производная. Дифференцирование явно заданных функций

Пусть  есть приращение функции  в точке , соответствующее приращению аргумента .  Производной функции  в точке  называется предел          . Числа  и  называются соответственно левой и правой производными функции  в точке . Необходимым и достаточным условием существования  является существование и совпадение  и . Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Таблица производных основных элементарных функций

1. , где С - const.   2. , .

3. , ; .   4. , ; .

5. .   6..   7. .   8. .

9. .   10. .

11. .   12. .   13. .   14. .

Правила дифференцирования функций. Пусть  и  дифференцируемые функции. Тогда:

1. .   2. .   3. , где .

Производная сложной функции. Пусть функция  имеет производную в точке , а функция  имеет производную в точке . Тогда сложная функция  имеет производную в точке  и справедливо равенство ; .

Пример. Найти производную функции .

Ñ Полагая  и , имеем  и .

Тогда получаем: .  #

Правило дифференцирования сложной функции справедливо для любого конечного числа композиций основных элементарных функций.

Пример. Найти производную функции .

Ñ Используя таблицу производных и правила дифференцирования, получаем: =.  #

Производная от логарифма функции , т.е.  называется логарифмической производной, а операция дифференцирования – логарифмическим дифференцированием. Применение логарифмирования часто упрощает взятие производной, а в случае степенно-показательной функции оно необходимо.

Пример. Найти производную функции .

Ñ Логарифмируя, получим      . Находим производные левой и правой частей равенства: .

Тогда . #

Пример. Найти производную функции .

Ñ . Дифференцируя обе части равенства, получим:   ,

. #

Задачи для самостоятельного решения

Продифференцировать указанные функции.

1. .   2. .   3. .   4. .   5. . 

6. .  7. .   8. .   9. .  

10. .   11. .   12. .   13. .

14. .   15. .   16. .   17. .

18. .   19. .   20. .   21. .  22. .   23. .   24. .    25. .   26..  

27. .   28. .   29. . 30. .

4.2. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически

          Функция  называется заданной неявно уравнением  на некотором множестве , если , . Для нахождения производной функции  необходимо продифференцировать по обе части уравнения и затем полученное уравнение разрешить относительно .

Пример.     Найти  для функции, заданной неявно: .

ÑДифференцируя по  обе части равенства  получим:

;    ;

,  . #

          Пусть заданы функции , ,  и пусть на интервале  функция  имеет обратную . Тогда можно определить функцию , которая называется параметрически заданной.

Теорема 1 (Производная обратной функции). Пусть функция  возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки . Пусть, также, . Тогда в некоторой окрестности точки  определена обратная функция , причем  дифференцируема в точке  и . Более простая форма записи для произвольной точки , в которой выполнены условия теоремы:. Применяя теорему 1, получим: для функции, заданной параметрически:

Пример.     Найти , если , .

Ñ Так как , , то . #

Задачи для самостоятельного решения

Найти производные от  по  для неявно заданных функций.

31. .   32. .   33. .

34. .    35. .   36. .   37. .

Найти производные от  по  для функций заданных параметрически.

38. ,.     39. .

40. .    41. .   42. .

4.3. Производные высших порядков.

          Производной второго порядка от функции  называется производная от ее первой производной, т.е. .Соответственно производной n-ного порядка называется производная от (n-1) - ой производной, т.е.

Пример.     Найти производную порядка  от функции .

Ñ ,. Продолжая дифференцирование функции, получим: . #

Если функции  и  имеют производные до n-ного порядка включительно, то справедлива формула Лейбница:

Пример.     Найти производную 5-го порядка от функции .

Ñ 

.

Имеем: ,  ,  ,

,   , ,  ,

 Подставляя полученные значения производных, находим:

. #

Пример.     Найти производную второго порядка от функции .

Ñ Дифференцируя уравнение по , получаем .

Отсюда , или .

Заменим  на  из условия: . Дифференцируя последнее уравнение по , имеем: . Используя найденное для  выражение, получаем . #

Для функции , заданной параметрически, , производная второго порядка находится по формуле . Производная порядка n определяется следующим образом: .

Пример.     Найти производную второго порядка от функции, заданной параметрически: .

Ñ Найдем первую производную: . Тогда .#

Задачи для самостоятельного решения

43.     44.    

45.    46.    47.

48.    49.    50. Найти .

51.    52.

53.

54. Применить формулу Лейбница для вычисления производной:.

4.4. Геометрический и механический смысл производной

                 

Рис. 1

Геометрический смысл производной: производная  функции  есть тангенс угла наклона касательной , проведенной к графику функции в точке , к положительному направлению оси абсцисс  

.  (Рис. 1).

Рис. 1.

  Уравнение касательной  в точке  имеет вид
  .

 Нормалью к графику функции в точке  называется прямая, проходящая через точку  перпендикулярно касательной в этой точке.

Ее уравнение:   .

Углом между кривыми в их общей точке называется угол между касательными, проведенными к кривым в этой точке.

Механический смысл производной: Если закон движения материальной точки  описывается функцией , то  есть скорость, а  - ускорение этой точки в момент времени t.

Пример. Написать уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .

Ñ ,   . Тогда , .Составим уравнение касательной  и нормали  к графику . : , :  или : , : .#

Пример. Написать уравнение касательной к кривой ,  в точке .

Ñ Вычислим . Тогда , ,

. Уравнение касательной имеет вид: .#

Пример.  Найти угол под которым пересекаются кривые   и 

Ñ Найдем точки пересечения кривых  и . Из равенства  находим точки пересечения , . Вычислим угловые коэффициенты  и  касательных к кривым  и  в точке . ,

Угол  между касательными определяем по формуле

. В точке  имеем соответственно  и . Тогда  и . #

Пример. Тело массой 4 движется прямолинейно по закону . Определить кинетическую энергию тела в момент времени .

Ñ Найдем скорость  в момент времени . , .