Дивергенция векторного поля. Ротор (вихрь) векторного поля

 .

15.1.4.  Дивергенция векторного поля

          Интегральные характеристики – поток и линейный интеграл – характеризуют векторное поле “в целом”. Количественную характеристику поля в каждой точке дают, вводимые ниже, дифференциальные характеристики. Введем понятие дивергенции.

Окружим произвольную точку M поверхностью (S) произвольной формы (например, сферой достаточно малого радиуса). Пусть (V) – объем, заключенный внутри поверхности (S).

Определение. Конечный предел отношения потока поля через поверхность (S) к объему, заключенному внутри нее при стягивании поверхности к точке M и стремлении объема V к нулю  называется дивергенцией векторного поля  в точке M:

                                                                            (1.10¢)

Замечание. Определение (1.10) есть инвариантное (не зависящее от системы координат) определение дивергенции.

          Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля, “исходящего” из точки M, то есть мощность источника (при ), или стока (при  ), находящегося в точке M.

          В декартовой системе координат дивергенция вычисляется по формуле

                                             .                                    (1.10)

Свойства дивергенции. Пусть и - векторные поля,  - скалярная функция. Тогда:

             1) ;  2) .          (1.11)

С учетом формулы (1.10) перепишем формулу Гаусса-Остроградского (1.6)

                                                                                      (1.12)

- поток векторного поля  через замкнутую поверхность (S) равен тройному интегралу по объему (V), заключенному внутри этой поверхности от дивергенции поля.

Пример 1. Вычислить .

Решение. .

Пример 2. Вычислить , где u(M) – скалярная функция,  - векторная функция.

Решение. По формуле (1.10) находим:  .

Пример 3. Используя теорему Гаусса-Остроградского (1.12), найти поток векторного поля  через всю поверхность (S) тела (V):

 в направлении внешней нормали.

Решение. Имеем . Поэтому  =. Для вычисления тройного интеграла перейдем к цилиндрическим координатам. Уравнение поверхности примет вид , =.

15.1.5. Ротор (вихрь) векторного поля

          Пусть поле - дифференцируемое поле (то есть проекции вектора поля на оси координат являются дифференцируемыми функциями).

Определение. Вихрем векторного поля  (обозначается rot) называется вектор, проекция которого на произвольный вектор  определяется как предел отношения циркуляции поля  по некоторому контуру (L), содержащему точку M, и лежащему в плоскости, перпендикулярной вектору , к площади области, ограниченной этим контуром, при условии, что этот контур стягивается в точку M, а площадь области (S) стремится к нулю:

                                             .                               (1.13)

В трехмерном пространстве  через декартовы прямоугольные координаты вектора  выражается следующим образом:

                            ,            (1.14)

или в удобной для запоминания символической форме

                                                    .                                            (1.15)

Теорема Стокса. Пусть координаты вектора  +  непрерывны и имеют непрерывные частные производные. Тогда циркуляция векторного поля  по замкнутому контуру (L) равна потоку вихрей поля через произвольную поверхность (S), натянутую на этот контур:

                                                    .                                (1.16)

Предполагается, что ориентация контура (L)  и   поверхности (S) согласованы: при положительном обходе контура нормаль направлена от “ног к голове”.

Свойства ротора:  1) ;  2) .

Определение. Векторное поле  называется безвихревым в данной области (V), если .

Пример 1. Найти ротор поля вектора напряженности магнитного поля  .

Решение.Вектор  в координатной форме:     . Вычислим ротор по формуле (1.15):

+ -

- поле напряженности  - безвихревое поле.

Пример 2. Вычислить циркуляцию вектора  по контуру  1)непосредственно, 2)по теореме Стокса.

Рис.5.

Решение. 1)Контур (L) – окружность радиуса , лежащая в плоскости
 z =3 (см. рис.5). Выберем ориентацию на ней, как указано на рисунке. Параметрические уравнения линии  , так что , . Для циркуляции вектора  имеем:  . 2)Для вычисления циркуляции по теореме Стокса выберем какую-нибудь поверхность (S), натянутую на контур (L).Естественно в качестве (S) взять круг, имеющий линию (L) своей границей. Согласно выбранной ориентации контура нормаль  к кругу необходимо взять равной . Вычислим ротор:  .
 По теореме Стокса
   .

Задачи для самостоятельного решения

Найти векторные линии плоских векторных полей:

1.;  2. ;   3. ;   4.;

5..

Найти векторные линии:

6. ;  7. , где ;

8. ;   9., ;

10.;   11.;   12.;

13., где  - постоянные векторы.

Найти векторные линии, проходящие через заданную точку:

14., ;   15.,  .

Вычислить поток векторного поля, используя поверхностный интеграл первого рода:

16. , (S): верхняя сторона треугольника, ограниченного плоскостями , .

17. , (S): внешняя сторона параболоида , ограниченного плоскостью ;

18. , : боковая поверхность кругового цилиндра , ограниченного плоскостями ;

19. ,  (S): внешняя сторона части параболоида , расположенной в первом октанте;

20. , (S): полная поверхность конуса , ограниченного плоскостью ;

21. , (S): замкнутая поверхность, ограниченная параболоидом  и плоскостью z = 0;

22. , (S): полная поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями , , , ;

23. , (S): сфера .

Вычислить поток, используя метод проектирования на все три координатные плоскости.

24. , (S): верхняя сторона круга, вырезанного конусом  на плоскости

25. , (S): верхняя сторона треугольника, полученного пересечением плоскости  с координатными плоскостями;

26. , (S): часть плоскости , ограниченная окружностью , в направлении орта .

Определить поток поля, используя формулу Гаусса-Остроградского:

27. , (S): произвольная кусочно гладкая замкнутая поверхность;

28. , (S): поверхность куба , , ;

29. , (S): сфера ;

30. , (S): часть параболоида , отсекаемая плоскостью ; в отрицательную сторону оси Ox;

31., (S): поверхность тела , , ,

;

32. , (S): поверхность тела , ;

33. , (S): ;

34.;

35. .