Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь вигляду АХ=В із точністю до 0,0001 методом Зейделя

Лабораторна робота №2

Завдання 2 Методом  Зейделя  розв’язати систему лінійних  алгебраїчних рівнянь  вигляду АХ=В із точністю до 0,0001.

Перевіримо достатню умову збіжності ітераційного процесу для метода Зейделя. Вона полягає в тому, що абсолютна величина коефіцієнта, який стоїть на головній діагоналі матриці А повинна бути більшою за суму абсолютних величин інших чисел цього рядка матриці А.

     Перевіримо цю умову.

Для першого рядка маємо

½ -0,82 ½ > ½-0,34½ + ½-0,12½ +½0,15½ = 0,61  умова виконується.

Для другого рядка маємо

½ -0,77 ½ < ½0,11½ + ½-0,45½ +½0,32½ = 0,88   умова не виконується.

Для третього рядка маємо

½ -0,86 ½ > ½0,05½ + ½-0,12½ +½-0,18½ = 0,35  умова виконується.

Для четвертого рядка маємо

½ -1,00 ½ > ½0,12½ + ½0,08½ +½0,18½ = 0,38  умова виконується.

Тому шляхом еквівалентних перетворень приведемо СЛАР до потрібного вигляду:

Помножимо 2-й рядок на -2 і додамо до нього 3-й. отримаємо систему:

     Перевіримо достатню умову збіжності.

Для першого рядка маємо

½ -0,82 ½ > ½-0,34½ + ½-0,12½ +½0,15½ = 0,61  умова виконується.

Для другого рядка маємо

½ 1,42 ½ > ½-0,17½ + ½0,04½ +½-0,82½ = 0,88   умова виконується.

Для третього рядка маємо

½ -0,86 ½ > ½0,05½ + ½-0,12½ +½-0,18½ = 0,35  умова виконується.

Для четвертого рядка маємо

½ -1,00 ½ > ½0,12½ + ½0,08½ +½0,18½ = 0,38  умова виконується.

Використаємо метод Зейделя. Кожне наступне (n+1) наближення розв’язку знаходимо за формулами:

де B=[b_ij] - квадратна матриця порядку n:       .

Обчислення проводимо  до тих пір, поки

½ x_iⁿ⁺¹ – x_iⁿ ½<  e   тобто ½ x_iⁿ⁺¹ – x_iⁿ ½<  0,0001 для всіх і ()

Для обчислення використаємо середовище програмування Turbo Pascal.

program chm2;

uses WinCRT;

var x01, x02, x03, x04, x1, x2, x3, x4 : real;

    i : integer;

const e=0.0001;

begin

i := 0;

writeln('x01, x02, x03, x04');

readln (x1, x2, x3, x4);

repeat

  x01:=x1;

  x02:=x2;

  x03:=x3;

  x04:=x4;

  x1:=(1.33+0.34*x2+0.12*x3-0.15*x4)/(-0.82);

  x2:=(2.84+0.17*x1-0.04*x3+0.82*x4)/(1.42);

  x3:=(1.16-0.05*x1+0.12*x2+0.18*x4)/(-0.86);

  x4:=(-0.57-0.12*x1-0.08*x2-0.06*x3)/(-1);

  i := i + 1;

  writeln(i,': ','x1=',x1:3:5,' x2=',x2:3:5,' x3=',x3:3:5,' x4=',x4:3:5);

  until (abs(x1-x01)<e) and (abs(x2-x02)<e) and (abs(x3-x03)<e) and (abs(x4-x04)<e);

end.

За початкове наближення беремо: х₁⁰ = 1; х₂⁰ = 1; х₃⁰ = 1; х₄⁰ = 1.

Відповідь: x₁=-2,12036, x₂=2,200935, x₃=-1,82921, x₄=0,36655

Визначимо міру обумовленості та оцінимо вплив вхідних даних на результат. Для цього складемо матриці:

Знайдемо обернену матрицю А^-1. Для цього використаємо Mathcad:

Тобто, похибка вхідних даних складає 8,2%.